对于非正交归一基,矢量的分量有两种不同的表达方式。下面我们以实2维空间的矢量 为例来说明。在平面上选一组正交归一基矢{,已2},再建立一组一般不正交归一的基矢 E=∑叫,但要求系数行列式det(an)≠0,以保证它们线性独立 引进度规张量gx=8k=EE=E·E,一般说,g≠,其量纲也可能不为1。考 虑任意一个矢量A,一方面可以用平行四边形法则表为A=A1+A2E2,另一方面,还 可以用矢量在基矢上的投影来表示:AE=A,AE2=A,一般说,A≠A(k=1,2), A称为逆变分量,A称为协变分量,它们之间有如下的关系 4=A.6=∑A6·E4=∑A8=∑84 一般地,矢量长度的平方F=1团==(4)+(f)也(4)+(4),事实上 A=A·A=∑∑!EA=∑8!=∑4 由于{}线性独立,dt(g)≠0,可由(§)式解出A=∑g"4,其中系数g“满足 g"=g4,以及∑8ng"=61,因而(g")与(g)是互逆的矩阵 若记det(g)=g,则有det(g)=g由上可知,度规张量g和g“有升降指标之功能 这种功能还能推广到高阶张量,例如:∑gm=7m,∑gBm7=Tm用到度规 l,n=1 张量本身,就得到∑g8m=g",与(*)式比较可知,g以及8′就是 Kronecker 6一记号。利用度规张量可把矢量的内积表为多种形式 AB=S灯B=∑B=∑4B=∑B=∑x"AB 对于正交归一化的基(},我们有g==6,g"=6,度规矩阵成为单位矩 阵,从而A4=A4,逆变分量和协变分量没有区别。以上这套方法可以直接推广到n维情4 对于非正交归一基，矢量的分量有两种不同的表达方式。下面我们以实 2 维空间的矢量 为例来说明。在平面上选一组正交归一基矢 e e 1 2 , ,  再建立一组一般不正交归一的基矢 2 1 l k k l l  a e = =  ，但要求系数行列式 det 0 ( ) l k a  ，以保证它们线性独立。 引进度规张量 kl lk k l l k g g = =  =      ，一般说， , kl kl g   其量纲也可能不为 1。考 虑任意一个矢量 A ，一方面可以用平行四边形法则表为 1 2 A A A 1 2 = +   ，另一方面，还 可以用矢量在基矢上的投影来表示： 1 1 2 2 A A A A  =  =   , , 一般说， k A A  k (k = 1,2) ， k A 称为逆变分量， Ak 称为协变分量，它们之间有如下的关系： 2 2 2 1 1 1 l l l k k l k lk kl l l l A A A A g g A    = = = =  =  = =    （§） 一般地，矢量长度的平方 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 A A A A A A = =   + 也 ( ) ( ) 2 2  + A A 1 2 ，事实上， 2 2 2 2 2 1 1 , 1 1 k l k l k k l kl k k l k l k A A A A A g A A A A   = = = = =  =  = =    由于  k  线性独立， det 0, (gkl )  可由（§）式解出 2 1 k kl l l A g A = =  ，其中系数 kl g 满足 kl lk g g = ，以及 2 1 lj j kl l l g g  =  = ，因而 ( ) kl g 与 (gkl ) 是互逆的矩阵。 （  ） 若记 det(g g kl )  ，则有 ( ) 1 det kl g g −  .由上可知，度规张量 kl g 和 kl g 有升降指标之功能。 这种功能还能推广到高阶张量，例如： 2 1 kl k lm m l g T T  =  = ， 2 ln , 1 kl mn km l n g g T T =  = 用到度规 张量本身，就得到 2 1 lm m kl k l g g g =  = ，与（  ）式比较可知， k l g 以及 k l g 就是 Kronecker  －记号。利用度规张量可把矢量的内积表为多种形式： 2 2 2 2 2 , 1 , 1 1 1 , 1 k l k l l k kl k l kl l k k l k l k l l k k l A B A B g A B A B A B g A B   = = = = =  = = = = =      对于正交归一化的基 ek  ，我们有 , kl kl kl k l kl g e e g =  = =   ，度规矩阵成为单位矩 阵，从而 k A A = k ，逆变分量和协变分量没有区别。以上这套方法可以直接推广到 n 维情