第30讲微分中值定理(1) 证直接证明该命题—多项式P(x)至多只有一个零点—比较困难,我们用反证 法 假设P(x)至少有两个零点x1,x2(不妨设x2>x1),P(x1)=P(x2)= 对P(x)在[x1,x2]上使用罗尔定理,可知存在∈(x1,x2),使P()=0.这与已知条 件矛盾,故P(x)最多只有一个零点 例5设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f(x)≠0f(a)=f(b)=0,则方程f(x)=0 在(a,b)内根的个数是()个 (A)0;(B)1;(C)2;(D)3. 解若有c∈(a,b),使f(c)=0,则对f(x)分别在[a,c],[c,b]上使用罗尔定理得: 有1∈(a,c),使f(1)=0,有2∈(c,b),使f(2)=0,由于f(x)在[,]上连续、可 导且f(1)=f(2).所以由罗尔定理知有∈(1,与2),使(f(x)'|:=:=f()=0.与已 知条件邝(x)≠0(a<x<b)矛盾,故f(x)在(a,b)无零点,所以选A 例6试证方程22-x2=1有且仅有三个实根. 证(1)首先证明方程确有三个实根 设f(x)=2-x2-1,则有f(0)=0;f(1)=0;f(4)=-1;f(5)=6 ∴方程f(x)=0至少有三个根:x1=0;x2=1;x3∈(4,5) (2)用反证法证明f(x)=0至多有三个实根 假设f(x)=0有四个实根x,(=1,2,3,4),x1<x2<x3<x (i)对函数f(x)分别在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x;]上使用罗尔定理知,方程f(x)=0 有三个实根 y1∈(x1,x2);y2∈(x2,x3);y3∈(x3,x:) (i)对函数f(x)=2n2-2x分别在[y1,y2],[y2,y3]上使用罗尔定理知:方程f"(x) =0有两个根z1,z2: z1∈(y1,y2),z2∈(y2,y3). (i)同理,对函数f(x)=2n2-2在[x1,z2]上使用定理知,方程"(x)=0应该有 一个实根谷(∈(z1,z2)).但是,因f"(x)=2ln2>0,x∈(-∞,+c).故f"(x)=0 无实根,产生矛盾 这一矛盾说明,方程f(x)=0至多有三个实根 综合(1)与(2)得知,f(x)=0有且仅有三个实根 3.辅助函数法 辅助函数法就是先构造一个与所证结果有关的辅助函数,然后再运用已知条件及有关 概念、定理、公式或法则,推理得出所要证明的结果.其基本思路是从一个愿望出发,联想到 某种曾经看到过的方法、手段,而后借助于这些方法、手段去接近目标,或者再从这些方法和 手段出发,又去联想到别的通向目标的方法或手段,这样继续下去,直到证明结论为止 如果我们希望用罗尔定理讨论方程f(x)=0根的存在性,那么构造的辅助函数F(x) 就应满足关系式:F(x)=f(x),并要求F(x)满足罗尔定理的条件.在具体构造F(x)时, 往往要借鉴求导的经验 例7已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且f(0)=1,f(1)=0,求证: 存在c∈(0,1),使f(c)+ 0. 证先构造一个与所证结果有关的辅助函数欲证户()+f(c)=0,即要证eP()+