D0I:10.13374/j.issn1001053x.2005.05.043 第27卷第5期 北京科技大学学报 VoL.27 No.5 2005年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2005 二维稳态晶体生长控制方程的数值解 廖福成”陶娟”刘贺平2) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要分析了在均匀流场的作用下，金属凝固过程中晶体生长浓度的二维稳态方程的边 值问题.运用有限差分法将徽分方程数值离散化为线性代数方程组.用初等变换法将该代数 方程组分解为多个方程组进行处理，提高了计算效率，模拟结果揭示了在均匀流场作用下， 沿枝晶生长的方向，晶体生长的浓度呈现振荡衰减的本质特征 关键词晶体生长：偏微分方程；边值问题：数值解 分类号0175 1问题的提出 性方程组，再求解该线性方程组即得到原问题的 数值解.计算结果表明，在固液界面前沿晶体生 金属凝固过程的一个重要的问题是形核后 长浓度呈现振荡衰减的本质特征. 的晶体生长.关于晶体生长的理论和实验研究一 直非常活跃.文献[5]在电化学沉积实验中发 2差分格式 现在扰动电流的作用下，枝晶尖端附近的浓度场 是振荡的.文献[6-9]从数学的角度求解晶体生长 对于边界条件(3)、(4)作如下的处理.由于C 稳定态的控制方程，从理论上证实了固液界面前 对x的周期性，这里仅讨论一个周期即0≤x≤2l内 沿浓度呈现指数振荡衰减性.晶体生长控制方程 的解，再将解延拓到整个x轴上即得所有的解， 大多是复杂的偏微分方程回.在一定条件下，一 注意到： 类二维稳态晶体生长浓度控制方程及其边界条 C(0,z=C(21,zg(z) (5) 件为： 由于limC(x,z)=0,所以对任意e>0,存在L,使z>L, 98+8-0 (1) 时，对x∈[0,2]一致地有0≤Cx,z<e.为作计算设： Cx,L)=0(0≤x≤20 C(x,0)=f(x) (6) (2) C(x+21,z)=C(x,z) (3) 把它作为一个边界条件，利用上述性质可用gz) limC(x,z)=0 (4) 在无穷远处的性质和实际允许误差界来选择L. 下面求问题(1)，(2)，(5)，(6)的数值解.将矩形 其中D为扩散系数，速度分量y,及周期2l均为 区域-{(x,z:0≤x≤2l,0sz≤L}分成N×M个小矩 常数，x)是关于x的连续周期函数，周期为2l. 形，长、宽分别为：△x=h,△z=h,h,和h亦称空间 文献[7,10]已经给出以上问题的Fourier级数 步，这里h和h的选择应按实际允许误差界来确 形式的解析解.但对于应用来说，有时数值解更 为方便，本文用差分法求该问题的数值解，从数 定，使+与该实际允许误差界至少同阶.记 值解的角度来说明晶体生长的振荡衰减性.用差 1=x+h1,x-=x-h(=1,2,…,N-1),z州1=z+h,z-= -h0-1,2,…,M-1),则有 分法解偏微分方程，常用的方法有古典显格式、 古典隐格式以及Crank-Nicholson格式i.m.针对 C.6k,zC12》-2Cg3HC.-22+0m (7) 二维问题提出了一个截断误差阶为O(+)的显 C.)-Cm)-2C)+Ch) (8) 式差分格式，将偏微分方程离散化，得到一个线 C.)-CC) 2h1 (9) 收稿日期：200410-27修回日期：200503-18 C.k,zC62l-C2+O份) 基金项目：国家重点基础规划项目No.G2000067206-1) 2h2 (10) 作者简介：廖福成(1957一)，男，教授 将式(7)(10)中的C(x简记为C,代入式(1)，将第2 , 卷 第 5 期 2 005 年 1 0 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u r . a l o f U n iv esr iyt o f s e ieD c e a n d 及 c血n o l o gy B e ij 恤g V b L2 7 N O 一 5 O Ct . 20 5 二维稳态晶体生长控制方程的数值解 廖福 成 ” 陶 娟 ” 刘 贺平 ” l )北京 科技大 学应 用科 学学 院 , 北京 10 0 83 2 )北京 科技 大学 信息 工程 学院 , 北 京 10 0 83 摘 要 分 析 了在均匀 流 场的 作用 下 , 金 属凝 固 过程 中 晶体 生 长浓 度 的二维 稳态 方 程 的边 值 问题 . 运用 有 限差分法 将微 分 方程数 值离 散化 为线 性代 数方程 组 . 用 初等 变换 法将 该代 数 方程 组分解 为 多个 方程 组进 行处 理 , 提 高 了计 算效 率 . 模拟 结 果揭 示 了在均 匀流 场作 用 下 , 沿 枝 晶生长 的方 向 , 晶体 生长 的浓 度呈 现振 荡衰 减 的本质 特 征 关键 词 晶体 生长 ; 偏微 分方程 ; 边 值 问题 ; 数 值解 分类号 0 1 7 5 1 问题 的提 出 金 属 凝 固 过程 的一 个 重要 的 问题 是 形 核 后 的晶体 生长 . 关 于 晶体 生长 的理 论和 实验 研 究一 直 非常 活 跃 ’冈 . 文 献 【5] 在 电化 学 沉积 实验 中发 现在 扰 动 电流 的作用 下 , 枝 晶尖 端 附近 的浓度 场 是振 荡 的 . 文献 [ 6 一 9] 从数 学的角 度 求解 晶体 生长 稳定 态 的控制 方程 , 从理 论上 证 实 了固液 界 面前 沿浓度 呈 现指 数振 荡 衰减 性 . 晶 体生 长控 制方 程 大 多是 复杂 的偏 微 分 方程 `10J . 在 一 定条 件 下 , 一 类 二 维 稳 态 晶 体 生长 浓 度 控 制 方程 及 其 边 界 条 件 为 : 性方 程 组 , 再求解该 线 性方 程组 即得 到原 问题 的 数值 解 . 计 算 结 果表 明 , 在 固液界 面 前沿 晶体 生 长浓 度 呈现 振 荡 衰减 的本质 特征 . , ( 刁 Z C . 刁 ZC 、 . 刁C . 刁C 。 代石厂百了+) 、 、丁产认飞百= u 侧方 , 0) 气尹’(x ) O (x + 2劫卜C ( x 力 l m C ( x 习二 O 其 中 D 为扩 散系 数 , 速 度 分 量 vx , 铸及 周期 21 均 为 常 数 沪以)是 关 于x 的连 续周 期 函数 , 周 期 为21 . 文 献 【7 , 10] 己 经给 出 以上 问题 的 F o iur er 级 数 形 式 的解 析 解 . 但对 于 应用 来 说 , 有 时数 值 解 更 为方 便 . 本 文 用 差分 法 求该 问题 的数 值解 , 从数 值 解 的角度 来 说 明晶体 生 长的 振荡 衰减 性 . 用 差 分 法 解偏 微 分 方程 , 常用 的方 法有 古 典显 格 式 、 古典 隐格 式 以及 C r a n 卜N i e h o l s o n 格 式 `, , 一 , ,」 . 针对 二 维 问题 提 出 了一 个截 断 误 差阶 为 以斌+ 从) 的显 式差 分格 式 , 将 偏 微 分方 程 离散 化 , 得 到 一个 线 收稿 日期 : 2 0 -4 1仁27 修 回 日期 : 2 0 5刁3 一 18 基金 项 目 : 国家重 点基础 规划 项 目N( .o 2G o 0() 6 7 2 06 一 l) 作者 简介 : 廖福 成 ( 19 57 一) , 男 , 教授 2 差 分格 式 对 于边 界 条件 (3 ) 、 (4 )作 如下 的处理 . 由于 C 对 x 的周 期性 , 这 里 仅讨 论 一 个周 期 即 O` x ` 21 内 的解 , 再 将解 延 拓 到 整 个 x 轴 上 即 得所 有 的解 . 注 意 到 : (C 0声 ) = (C 2今)气抓幻 ( 5 ) 由于 h m (C 琳力二0 , 所 以对 任意夕O , 存 在 L , , 使 艺> 乙 : 时 , 对 x 任 【0, 2月一 致地 有 O` C x( 习 e< . 为 作计 算 设 : C (才声 1 ) = 0 ( 0` x ` 2乃 ( 6 ) 把它 作 为 一个 边 界 条件 , 利 用 上述 性 质 可用以宕) 在无 穷 远 处 的性质 和 实 际 允许 误 差 界来 选 择L , . 下面 求 问题 ( l ) , ( 2 ) , ( 5 ) , (6 ) 的数值 解 . 将矩 形 区 域月七 { x( , z) :0 ` x ` 2人0` z ` L : } 分 成 Nx M个 小 矩 形 , 长 、 宽分 别 为 : xA = h , , 山= 爪 , h : 和爪亦称 空 间 步 . 这 里 h l和 h Z的选 择应 按 实际允 许 误差 界来 确 定 , 使材+h 圣与 该 实 际 允 许 误差 界 至 少 同阶 . 记 x +i , = +x, h l , x `一 , = x `一 h : (=1 1 , 2 , … , N 一 l ) , ’+z : = 与+ 人 2 , 为 一 : = jz 一 h Z价1 , 2 , … ,材` l) , 则 有 。 x( 声卜巫业裸严巫城 区h `, `, , 。 x( , 卜巫扯嘿笋鱼咧 + 口`” ,, “ , (2)l()34 cx hx( 二匹陈罕回 十 、 。 hx( = 恤斋哑 十 、 (9 ) ( 10 ) 将 式 (7) 一 ( 10) 中的 C示 j沟 )简记 为 q , 代 入式 ( l) , 将 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2005. 05. 043