2 也就是说r是同余方程组()的一个整数解.设x是()的任一整数解则r-r三0(modm,)1≤ i≤n,即x-r能被任一m,整除.因为m1,…,mn两两互素，故x-r能被m1…mn整除.于是 得到(*)的全部整数解为 r+tm1.,,mm.Vt∈Z. (4) 我们用剩余类环的语言重新表述一下上述问题和解答.设m1,·,m是两两互素的整 数.不难看出 T:Zm1mt-→Zm⊕…⊕Znm （你，…， 是环的单同态（注意上述每个的意义不同，指在不同的剩余类环中的元），而同余方程组()有 整数解恰好是说π是满同态，即π是环同构。 具体到“物不知其数”一题，即要解同余方程组 r=2 (mod 3) r三3(mod5) x=2(mod7), 即m1=3,m2=5,mg=7:@1=2a2=3.ag=2.因为(3,5×7=35)=1，(5,3×7= 21)=1,(亿，3×5=15)=1故由辗转相除法可知 1=3×(-23)+2×35 {1=5×(-4)+1×21 1=7×(-2)+1×15 所以得到一组 1=2×35=70,2=1×21=21,r3=1×15=15. 于是得到特解 r=2×70+3×21+2×15=233 从而“物不知其数”一题的整数解集为233+105Z.而最小正整数解为233-2×105=23. 这个算法被程大位(1533-1606，珠算家：今黄山市电溪人)在《算法统宗》(1593)一书中用歌 诀给出 三人同行七十稀， 五树梅花什一支 七子团圆月正半。 除百零五便得知2 è“¥`r¥”{êß|(∗)òáÍ). x¥(∗)?òÍ).Kx−r ≡ 0 (mod mi), 1 ≤ i ≤ n, =x − rU?òmiÿ. œèm1, · · · , mn¸¸pÉ,x − rUm1 · · · mnÿ. u¥ (∗)‹Í)è r + tm1 · · · mn, ∀ t ∈ Z. (4) ·Ç^ê{aÇäÛ­#L„òe˛„ØK⁄)â.m1, · · · , mn¥¸¸pÉ Í. ÿJw— π : Zm1···mn −→ Zm1 ⊕ · · · ⊕ Zmn r¯ 7→ (¯r, · · · , r¯) ¥Ç¸”(5ø˛„zár¯ø¬ÿ”,ç3ÿ”ê{aÇ•). ”{êß|(∗)k Í)T–¥`π¥˜”,=π¥Ç”. ‰N/‘ÿŸÍ0òK, =á)”{êß|    x ≡ 2 (mod 3) x ≡ 3 (mod 5) x ≡ 2 (mod 7), =m1 = 3, m2 = 5, m3 = 7; a1 = 2, a2 = 3, a3 = 2. œè(3, 5 × 7 = 35) = 1, (5, 3 × 7 = 21) = 1, (7, 3 × 5 = 15) = 1 dŒ=Éÿ{å    1 = 3 × (−23) + 2 × 35 1 = 5 × (−4) + 1 × 21 1 = 7 × (−2) + 1 × 15 §±ò| r1 = 2 × 35 = 70, r2 = 1 × 21 = 21, r3 = 1 × 15 = 15. u¥A) r = 2 × 70 + 3 × 21 + 2 × 15 = 233. l /‘ÿŸÍ0òKÍ)8è233 + 105Z, ÅÍ)è233 − 2 × 105 = 23. ˘áé{ßå†(1533-1606, æé[; 8ëϽÙM<)35é{⁄m6(1593) ò÷•^y ¸â— n<”1‘õD, ‰rsˆò|. ‘fÏå, ÿz" B.