4证明不等式 (1)利用中值定理(R,L); (2)利用函数单调性 (3)利用最值; (4)引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式 (5)利用函数凹凸性; (6)利用泰勒公式 例1、当0<a<b,试证:b-a <ln-< 1 hnb-In a 1 b b-a 证:设y=hnx,在[a,b]连续,(a,b)可导, 由拉格朗日中值定理 In b-hn a 1 ∴hb-na=(b-a),即 <二< b 1 In b-In a 1 a 例2、设x>0,证明,<hn(1+x)<x 1+X 证:设f(x)=x-ln(+x)f(x) X 1+x1+x f(x)单增,当ⅹ>0f(x)>f(0)=0 >ln(1+x) 设f(X)=ln(1+x) 1+X 2+X >0 1+x(1+x)2(1+x) f(x)单增,当X>0f(x)>f(0)=0 ln(1+x)>4 证明不等式 （1）利用中值定理（R，L）； （2）利用函数单调性； （3）利用最值； （4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式； （5）利用函数凹凸性； （6）利用泰勒公式。 例 1、 当 0  a  b ，试证： a b a a b ln b b a −   − 即 a 1 b a ln b ln a b 1  − −  证： 设 y = ln x ，在 [a,b] 连续， (a,b) 可导， 由拉格朗日中值定理 ∵ (b a) 1 ln b ln a −  − = ，即 a b 1 b a ln b ln a     = − − ∴ a 1 b a ln b ln a b 1  − −  例 2、设 x  0 ，证明 ln(1 x) x 1 x x  +  + 证： 设 f(x) = x − ln(1+ x) 1 x x 1 x 1 f (x) 1 / + = + = − f(x) 单增，当 x  0 f(x)  f(0) = 0 ∴ x  ln(1+ x) 设 1 x x f(x) ln(1 x) + = + − 0 (1 x) 2 x (1 x) 1 1 x 1 f (x) 2 2 /  + + = + + + = f(x) 单增，当 x  0 f(x)  f(0) = 0 ∴ 1 x x ln(1 x) + + 