的k级行列式因子就是 D4(4)=d1()d2(1)…d4()(k=1,2,…,r) 于是 d1(A)=D1(4),d2(4) D2() d (a) D(4) (3) D1() () 这就是A(A)的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被A(A)的行列式因子所唯 一决定的,所以A(4)的标准形是唯一的 定义6标准形的主对角线上非零元素d1(4),d2(4)…,d(4)称为λ-矩阵 A(4)的不变因子 定理5两个A-矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子,或者,它 们有相同的不变因子 由(3)可以看出,在λ-矩阵的行列式因子之间,有关系式 D(4)Dk+1(4)(k=1,2 在计算λ-矩阵的行列式因子时,常常是先计算最高级的行列式因子这样,由(4) 就大致有了低级行列式因子的范围了 例如,可逆矩阵的标准形设A(4)为一个n×n可逆矩阵,由定理1知 4(4)Fd, 其中d是一非零常数,这就是说 Dn()=1 于是由(4)可知,DA(4)=1(k=1,2,…,m)从而 d4(4) (k=1,2,…,n) 因此,可逆矩阵的标准形是单位矩阵E.反过来,与单位矩阵等价的矩阵一定是 可逆矩阵,因为它的行列式是一个非零的数这就是说,矩阵可逆的充要条件是 它与单位矩阵等价又矩阵A(4)与B(4)等价的充要条件是有一系列初等矩阵 P,P2…,P,Q1Q2…,Q,使的 k 级行列式因子就是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) 1 2 D d d d k r k  =    k  =  . (2) 于是 ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 1 2 1 1 2         − = = = r r r D D d D D d D d  . (3) 这就是 A() 的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被 A() 的行列式因子所唯 一决定的，所以 A() 的标准形是唯一的. 定义 6 标准形的主对角线上非零元素 ( ), ( ), , ( ) d1  d2   dr  称为  − 矩阵 A() 的不变因子. 定理 5 两个  −矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它 们有相同的不变因子. 由(3)可以看出，在  −矩阵的行列式因子之间，有关系式 ( ) | ( ) ( 1,2, , 1) Dk  Dk+1  k =  r − . (4) 在计算  −矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4) 就大致有了低级行列式因子的范围了. 例如，可逆矩阵的标准形.设 A() 为一个 nn 可逆矩阵，由定理 1 知 | A() |= d , 其中 d 是一非零常数，这就是说 Dn () =1 于是由(4)可知， D ( ) 1 (k 1,2, ,n) k  = =  从而 d ( ) 1 (k 1,2, ,n) k  = =  因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 E .反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是 可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是 它与单位矩阵等价.又矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件是有一系列初等矩阵 P P Pl Q Q Qt , , , , , , , 1 2  1 2  ，使