习题1.5 (1)证明每一个有穷的偏序都可以延拓成一个线序。 习题1.6. (1)验证:如果p是素数,则{0,1,…,p-1}在模p的运算下满足域的所有公理 (2)证明每个非零的自然数都是某个自然数的后继 (3)证明抽屉原则(或称鸽舍原理):如果自然数n>m,则不存在从{0,1,…,n-1} 到{0,1,…,m-1}的单射。 (4)证明下列命题等价 (a)皮亚诺公理中的归纳原理。 (b)最小数原理:自然数的任意非空子集都有最小元 (c)强归纳原理:对任何一个自然数的性质P,如果从所有m<n,P(m)成立能 推出P(n)成立,则对所有自然数n,P(n)都成立 鸽舍原理, Pigeonhole Principle,叙述为:如果把n个鸽子放入少于n个鸽舍里,则至少有一个鸽舍里面有不止 只鸽子。习题 1.5. (1) 证明每一个有穷的偏序都可以延拓成一个线序。 习题 1.6. (1) 验证：如果 p 是素数，则 {0, 1, · · · , p − 1} 在模 p 的运算下满足域的所有公理。 (2) 证明每个非零的自然数都是某个自然数的后继。 (3) 证明抽屉原则 （或称鸽舍原理 1）：如果自然数 n > m，则不存在从 {0, 1, · · · , n − 1} 到 {0, 1, · · · , m − 1} 的单射。 (4) 证明下列命题等价： (a) 皮亚诺公理中的归纳原理。 (b) 最小数原理：自然数的任意非空子集都有最小元。 (c) 强归纳原理：对任何一个自然数的性质 P，如果从所有 m < n，P(m) 成立能 推出 P(n) 成立，则对所有自然数 n，P(n) 都成立。 1鸽舍原理，Pigeonhole Principle，叙述为：如果把 n 个鸽子放入少于 n 个鸽舍里，则至少有一个鸽舍里面有不止一 只鸽子。 6