。1040 北京科技大学学报 第31卷 力.Okress等应用等效偶极子原理（交变电流的波 式中， 长远大于金属球尺寸，涡流产生的场可等效于交变 M(x)-x sinh2xt sin2x1. 磁偶极子)，得出单匝感应线圈施于金属球上的悬浮 cosh2x-cos2x 力公式1，后推广到多匝线圈的计算.电流方向一 致时，多匝线圈施于金属球上的悬浮力公式为+： B(z)= R 12 名(R+2)网· F:=(32)xoPaG(x)A(z) (2) 将1=o(h2+1),R:=r+(i-h1-)an受 式中， (ih1时，令i-h1-1=0)和z=ho十h1一(i- G(x)=1-3 sinb2x-sin2x 1)代入式(4)，获得应用于本文整体感应加热器中微 4x sinhx+sinx 熔池吸收功率计算公式： 4(z)= R+nR R 台(R汁2)亚 P=3al M(x)B(a,r,ho.h1,h2)/4(h2+1)2 (5) r=a/(/πaf02, 式中， F:为金属球所受的悬浮力；o为真空磁导率；R: B(a r,ho,h1 h2)= 为感应线圈的半径；n为感应线圈的匝数；z:为球 +1 r+(i-h-tan 心到感应线圈中心的距离（线圈在球心之下z取正 2 2 3/2 号，线圈在球心之上z;取负号)；a为金属球的半 +(i-h1-an2 a +h0+h1-(i-1 径：P为金属球的电阻率；∫为交变电流的频率；1为 球形试样散热功率为： 交变电流的有效值. Ea=4x aie(T-To)+4aih(T-To)(6) 由图2中的几何模型可以得到，第i匝线圈的 式中，a1为球形试样半径（本文指微熔池半径与玻 半径R:=r+(i-h1-)an受(i≤h时，令i- 璃层厚度之和)，ob为玻尔兹曼常量，E:为散热功 h1一1=0)，球心与第i匝线圈的距离z=ho十h1一 率，e为试样辐射率，T为试样表层温度，To为周围 (i一1)，令整体感应加热器中电流为I0,同时忽略 环境温度，h为试样与周围介质传导和对流的热传 邻近效应，则每匝线圈的电流I=Io/(h2十1)，将它 输系数. 们代入式(2)，获得应用于本文整体感应加热器中微 本文实验条件下，金属微熔池温度远大于环境 熔池所受悬浮力计算公式： 温度，微熔池与外界的换热方式主要为辐射散热，传 F2=3πoI6a3G(x)A(a,r,ho,h1,h2)/2(h2+1)2 导或对流散热可以忽略，因此由式(6)可得金属微熔 池散热功率为： (3) (7) 式中， E=4 ai(T4-To) A(a,r,ho,hi,h2)= 若忽略微熔池的温度梯度，在温度恒定的情况 下由微熔池的吸收功率与散热功率平衡可得P= r+1-1-tm2 E.结合式(5)和式(7)可得到微熔池平均温度为： rt(-hm 3y2 +[h0+h1-(i-1小 Bxa1o M(x)B(r,a,h)/4 h2+1)+aisad To 2 4x ai ssb r+(i-h1-1)tan [ho+h1-(i-1] (8) y2 rH一-m分 1.4计算公式的实验验证 +[h0+h1-(i- 为了验证上述计算公式在本文实验条件下的合 a为感应加热器锥角，r为下锥孔半径，ho为微熔 理性，本文设计了如图3所示的实验装置.图3中 池中心到下锥孔上端面的距离，1为下锥孔高度， 石英棒的一端与金属球相连，另一端放置在高精度 h2为感应加热器高度.a为微熔池的半径. 电子天平上.金属球的温度用红外测温仪测量.实 13微熔池的温度 验开始时，金属中心与感应加热器下锥孔上端面之 非铁磁性材料或者温度超过居里点的铁磁性材 间的距离ho为5mm,在不通电流的情况下记录电 料球形试样处于多匝感应线圈上方时，其吸收功率 子天平的读数，然后在感应加热器内通入电流并调 为1本1习 节其大小，使金属球维持在一定的温度，此时金属球 P=(3/4)aPM(x)B(z) (4) 受到电磁悬浮力而使天平读数减小，天平读数的减力.Okress 等应用等效偶极子原理( 交变电流的波 长远大于金属球尺寸, 涡流产生的场可等效于交变 磁偶极子), 得出单匝感应线圈施于金属球上的悬浮 力公式[ 13] , 后推广到多匝线圈的计算.电流方向一 致时, 多匝线圈施于金属球上的悬浮力公式为[ 14-15] : Fz =( 3/2)πμ0 I 2 a 3 G( x ) A( z) ( 2) 式中, G( x ) =1 - 3 4 x sinh2 x -sin2 x sinh 2 x +sin 2 x , A( z) = ∑ n i =1 R 2 i ( R 2 i +z 2 i) 3/ 2· ∑ n i =1 R 2 izi ( R 2 i +z 2 i) 5/2 , x =a/ ( ρ/πμ0 f) 1/2 , Fz 为金属球所受的悬浮力;μ0 为真空磁导率;Ri 为感应线圈的半径;n 为感应线圈的匝数;zi 为球 心到感应线圈中心的距离(线圈在球心之下 zi 取正 号, 线圈在球心之上 zi 取负号) ;a 为金属球的半 径;ρ为金属球的电阻率;f 为交变电流的频率;I 为 交变电流的有效值. 由图 2 中的几何模型可以得到, 第 i 匝线圈的 半径R i =r +( i -h1 -1) tan α 2 ( i ≤h1 时, 令 i - h 1 -1 =0), 球心与第 i 匝线圈的距离zi =h0 +h 1 - ( i -1) , 令整体感应加热器中电流为 I 0, 同时忽略 邻近效应, 则每匝线圈的电流 I =I0/ ( h2 +1) , 将它 们代入式( 2), 获得应用于本文整体感应加热器中微 熔池所受悬浮力计算公式 : Fz =3πμ0 I 2 0 a 3 G( x ) A ( α, r, h 0, h1, h2) /2( h2 +1) 2 ( 3) 式中, A( α, r, h0, h1, h 2) = ∑ h 2 +1 i =1 r +( i -h1 -1) t an α 2 2 r +( i -h1 -1) t an α 2 2 +[ h 0 +h 1 -( i -1) ] 2 3/2 · ∑ h 2 +1 i =1 r +( i -h 1 -1) tan α 2 2 [ h0 +h 1 -( i -1) ] r +( i -h1 -1) t an α 2 2 +[ h 0 +h 1 -( i -1) ] 2 5/2 , α为感应加热器锥角, r 为下锥孔半径, h0 为微熔 池中心到下锥孔上端面的距离, h1 为下锥孔高度, h 2 为感应加热器高度, a 为微熔池的半径. 1.3 微熔池的温度 非铁磁性材料或者温度超过居里点的铁磁性材 料球形试样处于多匝感应线圈上方时, 其吸收功率 为[ 14-15] : P =( 3/4)πaρI 2 M( x ) B ( z) ( 4) 式中, M( x ) = x( sinh2 x +sin2x ) cosh2 x -cos2 x -1, B( z) = ∑ n i =1 R 2 i ( R 2 i +z 2 i) 3/2 2 . 将 I =I0/( h2 +1), Ri =r +( i -h1 -1) tan α 2 ( i ≤h1 时, 令 i -h1 -1 =0)和 zi =h0 +h 1 -( i - 1) 代入式( 4), 获得应用于本文整体感应加热器中微 熔池吸收功率计算公式 : P =3πaρI 2 0 M( x ) B ( α, r, h 0, h1, h2) /4( h2 +1) 2 ( 5) 式中, B ( α, r, h0, h 1, h2) = ∑ h 2 +1 i =1 r +( i -h1 -1) t an α 2 2 r +( i -h1 -1) tan α 2 2 +[ h0 +h1 -( i -1) ] 2 3/2 2 . 球形试样散热功率为[ 16] : E d =4πa 2 1εσsb( T 4 -T 4 0) +4πa 2 1 h( T -T0) ( 6) 式中, a1 为球形试样半径(本文指微熔池半径与玻 璃层厚度之和), σsb为玻尔兹曼常量, E d 为散热功 率, ε为试样辐射率, T 为试样表层温度, T0 为周围 环境温度, h 为试样与周围介质传导和对流的热传 输系数 . 本文实验条件下, 金属微熔池温度远大于环境 温度, 微熔池与外界的换热方式主要为辐射散热, 传 导或对流散热可以忽略, 因此由式( 6)可得金属微熔 池散热功率为: E d =4πa 2 1εσsb( T 4 -T 4 0) ( 7) 若忽略微熔池的温度梯度, 在温度恒定的情况 下由微熔池的吸收功率与散热功率平衡可得 P = E d, 结合式( 5)和式( 7) 可得到微熔池平均温度为 : T = 4 3πaρI 2 0 M( x ) B ( r, α, h) /4( h2 +1) 2 +4πa 2 1 εσsb T 4 0 4πa 2 1 εσsb ( 8) 1.4 计算公式的实验验证 为了验证上述计算公式在本文实验条件下的合 理性, 本文设计了如图 3 所示的实验装置 .图 3 中 石英棒的一端与金属球相连, 另一端放置在高精度 电子天平上.金属球的温度用红外测温仪测量.实 验开始时, 金属中心与感应加热器下锥孔上端面之 间的距离 h0 为 5 mm, 在不通电流的情况下记录电 子天平的读数, 然后在感应加热器内通入电流并调 节其大小, 使金属球维持在一定的温度, 此时金属球 受到电磁悬浮力而使天平读数减小, 天平读数的减 · 1040 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷