它有通解 1 =写+c2 所以原方程有通解 -(+ 其中c是任意常数.由初始条件(1)=1得 -(+)- _1 -一----结论1分 本题也可以通过变换u=xy转化为变量分离方程来做。 二(10分)、设f(x)是R上的连续可微函数，且f"(x川≤1/2.证明函数方程x=f() 在R上有唯一的解， 证：对任意的x,y∈R有 a)-f=f(e-训≤r- 所以f是R上的压缩映射 -------5分 又R在由绝对值定义的距离下完备，故由压缩映射原理得，∫在R上有唯一的解 ---------5分 三(15分)、对于给定的二阶微分方程初值问题 是+m鼎-y=2-80=120=-1 1.问该初值问题是否有解析解，给出你结论的证明(10分) 2.如果有解析解指出它在原点的展开式的收敛半径(5分) 证：有解析解 -----------4分 结论的证明：令 则原二阶微分方程初值问题转化微分方程组初值问题 (0)=1 击=-(6im2-cy+2-320)=-1 3 ßkœ) z = 1 3 x + cx2 − − − − − − − − − − − 2© §±êßkœ) y =  1 3 x + cx2 −1 − x −1 Ÿ• c ¥?ø~Í. d–©^á y(1) = 1  y =  1 3 x + 1 6 x 2 −1 − x −1 − − − − − − − − − − − (ÿ1 © Kè屜LCÜ u = xy =zèC˛©lêß5â"  £10©§! f(x) ¥ R ˛ÎYåáºÍ, Ö |f 0 (x)| ≤ 1/2. y²ºÍêß x = f(x) 3 R ˛kçò). y: È?ø x, y ∈ R k |f(x) − f(y)| = |f 0 (ξ)(x − y)| ≤ 1 2 |x − y| §± f ¥ R ˛ÿ†N. − − − − − − − − − − −5 © q R 3d˝È佬Âle, dÿ†Nn, f 3 R ˛kçò). − − − − − − − − − − −5 © n £15©§!Èuâ½á©êß–äØK d 2 y dx2 + (sin x) dy dx − e x y = x 2 − 3, y(0) = 1, dy dx(0) = −1, 1. ØT–äØK¥ƒk)¤), â—\(ÿy²£10©§. 2. XJk)¤)ç—ß3:–m™¬Ò媣5©§. y: k)¤). − − − − − − − − − − −4 © (ÿy²µ- dy dx = z Ká©êß–äØK=zá©êß|–äØK dy dx = z, y(0) = 1 dz dx = −(sin x)z − e x y + x 2 − 3, z(0) = −1 3