§33R"上的可测函数与连续函数 教学目的本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节将 证明重要的 Lusin定理,它表明 Lebesgue可测函数可以用性质较好连续函数 逼近.这个结果在有些情况下是很有用的 本节要点一方面,L可测集上的连续函数是可测的,另一方面, Lusin定 理表明 Lebesgue I可测函数可以用连续函数通近 Lusin定理有两个等价形式 另外,作为准备定理的 Tietze扩张定理本身也是一个很有用的结果 在§14我们已经给出了在R”的任意子集上E连续函数的定义.这里先看两个例子 例1考虑R上的 Dirichlet函数 若x为有理数 DO 0若x为无理数 显然D(x)在R上处处不连续若用Q表示有理数的全体则将D(x)限制在Q上所得到 的函数D在Q上恒等于1.故D。是Q上的连续函数(注意D与D,是两个不同的函 数).这个例子表明若缩小了函数的定义域不连续函数可能变成连续函数 例2设F,…,F是R"上的k个互不相交的闭集,F=UF则简单函数 f(x)=∑a,l1(x)是F上的连续函数 证明设x6∈F,则存在使得x∈F。由于F1,…,F互不相交,故x∈U∪F 由于∪JF是闭集,因此 d(x∪F)>0 对任意E>0,当x∈F并且d(x,x0)<时,必有x∈F.于是 (x)-f(x) 因此∫(x)在x连续.所以∫(x)在F上连续(图3-1)■88 3.3 n R 上的可测函数与连续函数 教学目的 本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系. 本节将 证明重要的 Lusin 定理, 它表明 Lebesgue 可测函数可以用性质较好连续函数 逼近. 这个结果在有些情况下是很有用的. 本节要点 一方面, L 可测集上的连续函数是可测的, 另一方面, Lusin 定 理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 另外, 作为准备定理的 Tietze 扩张定理本身也是一个很有用的结果. 在 1.4 我们已经给出了在 n R 的任意子集上 E 连续函数的定义. 这里先看两个例子. 例 1 考虑 1 R 上的 Dirichlet 函数    = 0 . 1 ( ) 若 为无理数 若 为有理数 x x D x 显然 D(x) 在 1 R 上处处不连续. 若用Q 表示有理数的全体,则将 D(x) 限制在Q 上所得到 的函数 Q D 在Q 上恒等于 1. 故 Q D 是Q 上的连续函数.(注意 D 与 Q D 是两个不同的函 数). 这个例子表明若缩小了函数的定义域,不连续函数可能变成连续函数. 例 2 设 F Fk , , 1 L 是 n R 上的 k 个互不相交的闭集, U k i F Fi =1 = . 则简单函数 ∑= = k i i F f x a I x i 1 ( ) ( ) 是 F 上的连续函数. 证明 设 , x0 ∈ F 则存在 0i 使得 . 0 0 Fi x ∈ 由于 F Fk , , 1 L 互不相交, 故 U 0 i i Fi x ≠ ∉ . 由于U 0 i i Fi ≠ 是闭集, 因此 ( , ) 0. 0 = 0 > ≠ U i i Fi δ d x 对任意ε > 0, 当 x ∈ F 并且d(x, x0 ) < δ 时, 必有 . 0 Fi x ∈ 于是 ( ) ( ) 0 f x − f x0 = < ε. 因此 f (x) 在 0 x 连续. 所以 f (x) 在 F 上连续(图 3 1)