第4节紧致性定理及其应用 第6章哥德尔完全性定理 这样的与α初等等价但不同构的(可数或不可数)模型称为非标准算术模型。 让我们先引入一个后续课程中常用的概念。对任何一个结构%,我们称所有在中 成立的闭语句为的理论,记作Th,即 Th={a:%}a} 下面的简单命题提供给我们一个构造初等等价模型的方法: 引理66.如果(同一个语言上的)结构满足Th,则9≡。 证明:见习题。 回到非标准模型的构造。 证明:首先扩展语言:添加一个新的常数符号c。令 ∑={0<c,S0<c,SS0<c,…} 我们验证任何一个∑UTh的有穷子集∑都是可满足的:注意到∑最多只有有穷条∑ 中的语句,我们可以找一个充分大的自然数k,并在标准模型中添上c的解释为k即可。 ihⅫ中的语句不牵扯到c,因此在标准模型中依然成立。 依照紧致性定理,ΣυThα也有一个模型。完全性定理的证明告诉我们这个模型可 以取为可数的。我们所要的模型仍就是该模型在算术语言上的限制。由于9是Th的 模型,≡。剩下验证和α不同构。假定存在一个同构h:罗→则。令m=h(c)。 由于0<c,S0<c,…,SS…S0<c在模型中成立,因此h诱导出一个从m+1到m 的一个单一映射,这与抽屉原则(习题??)矛盾。 紧致性定理还有更深刻的应用,例如,林德斯特罗姆°利用紧致性定理(和一些其它 性质)给出了一个对一阶逻辑的完全刻画。虽然我们这里把紧致性定理当作完全性定理的 个推论,但从某种意义上讲,林德斯特罗姆定理告诉我们,紧致性定理才是一阶逻辑中 更根本的特征。 6林德斯特罗姆, Per lindstrom(1936-2009),瑞典逻辑学家,数学家 12第 4 节 紧致性定理及其应用 第 6 章 哥德尔完全性定理 这样的与 A 初等等价但不同构的（可数或不可数）模型称为非标准算术模型 。 让我们先引入一个后续课程中常用的概念。对任何一个结构 A，我们称所有在 A 中 成立的闭语句为A 的理论，记作 Th A，即 Th A = {σ : A |= σ}。 下面的简单命题提供给我们一个构造初等等价模型的方法： 引理 6.6. 如果（同一个语言上的）结构 B 满足 Th A，则 B ≡ A。 证明: 见习题。 回到非标准模型的构造。 证明: 首先扩展语言：添加一个新的常数符号 c。令 Σ = {0 < c, S0 < c, SS0 < c, · · · }。 我们验证任何一个 Σ ∪ Th A 的有穷子集 Σ0 都是可满足的：注意到 Σ0 最多只有有穷条 Σ 中的语句，我们可以找一个充分大的自然数 k，并在标准模型中添上 c 的解释为 k 即可。 Th A 中的语句不牵扯到 c，因此在标准模型中依然成立。 依照紧致性定理，Σ ∪ Th A 也有一个模型。完全性定理的证明告诉我们这个模型可 以取为可数的。我们所要的模型 B 就是该模型在算术语言上的限制。由于 B 是 Th A 的 模型，A ≡ B。剩下验证 B 和 A 不同构。假定存在一个同构 h : B → A。令 m = h(c A )。 由于 0 < c, S0 < c, · · · , SS · · · S | {z } m 多个 0 < c 在模型 B 中成立，因此 h 诱导出一个从 m + 1 到 m 的一个单一映射，这与抽屉原则（习题 ??）矛盾。 紧致性定理还有更深刻的应用，例如，林德斯特罗姆6利用紧致性定理（和一些其它 性质）给出了一个对一阶逻辑的完全刻画。虽然我们这里把紧致性定理当作完全性定理的 一个推论，但从某种意义上讲，林德斯特罗姆定理告诉我们，紧致性定理才是一阶逻辑中 更根本的特征。 6林德斯特罗姆，Per Lindström（1936 - 2009），瑞典逻辑学家，数学家。 12