《现代控制理论基础》第二章(讲义) A"+a14"+…+an1A+anI=0 即证明了凯莱-哈密尔顿定理。 2.3.2最小多项式 按照凯莱-哈密尔顿定理,任一n×n维矩阵A满足其自身的特征方程,然而特征方程不 定是A满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵A为其根的最小阶次多项式称为最小多项 式,也就是说,定义n×n维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式φ(),即 p()=m+a12 m≤n 使得中(A)=0,或者 P(a) Am+…+anA+anI=0 最小多项式在n×n维矩阵多项式的计算中起着重要作用 假设λ的多项式d(λ)是(λI-A)的伴随矩阵adj(λI-A)的所有元素的最高公约式。可 以证明,如果将d(λ)的λ最高阶次的系数选为1,则最小多项式φ(λ)由下式给出: p(n) I2/-AI d() 注意,n×n维矩阵A的最小多项式中(X)可按下列步骤求出 1、根据伴随矩阵adj(λI-A),写出作为λ的因式分解多项式的adj(I-A)的各元素; 、确定作为伴随矩阵adj(λI-A)各元素的最高公约式d(λ)。选取d()的λ最高阶次 系数为1。如果不存在公约式,则d()=1 3、最小多项式中()可由λI-A除以d(X)得到 2.4矩阵指数函数e的计算 前已指出,状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵,即矩阵指数函数e"。如 果给定矩阵A中所有元素的值, MATLAB将提供一种计算e的简便方法,其中T为常数 除了上述方法外,对e"的计算还有几种分析方法可供使用。这里我们将介绍其中的四 种计算方法。 2.3.1方法一:直接计算法(矩阵指数函数) a2t2 at3 I+At+ (2.9) 3! 可以证明,对所有常数矩阵A和有限的t值来说,这个无穷级数都是收敛的。 2.3.2方法二:对角线标准形与 Jordan标准形法《现代控制理论基础》第二章(讲义) 5 1 0 1 + 1 + + − + = − A a A a A a I n n n n  即证明了凯莱-哈密尔顿定理。 2.3.2 最小多项式 按照凯莱-哈密尔顿定理，任一 n×n 维矩阵 A 满足其自身的特征方程，然而特征方程不 一定是 A 满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵 A 为其根的最小阶次多项式称为最小多项 式，也就是说，定义 n×n 维矩阵 A 的最小多项式为最小阶次的多项式φ(λ)，即 a am am m n m m = + + + − +  − ( ) , 1 1    1   使得φ(A）= 0，或者 ( ) 1 0 1 = + 1 + + − + = − A A a A a A a I m m  m m  最小多项式在 n×n 维矩阵多项式的计算中起着重要作用。 假设λ的多项式 d(λ)是(λI-A)的伴随矩阵 adj(λI-A)的所有元素的最高公约式。可 以证明，如果将 d(λ)的λ最高阶次的系数选为 1，则最小多项式φ(λ)由下式给出： ( ) | | ( )     d I − A = (2.8) 注意，n×n 维矩阵 A 的最小多项式φ(λ)可按下列步骤求出： 1、根据伴随矩阵 adj(λI-A)，写出作为λ的因式分解多项式的 adj(λI-A)的各元素； 2、确定作为伴随矩阵 adj(λI-A)各元素的最高公约式 d(λ)。选取 d(λ)的λ最高阶次 系数为 1。如果不存在公约式，则 d(λ)=1； 3、最小多项式φ(λ)可由|λI-A|除以 d(λ)得到。 2.4 矩阵指数函数 e At的计算 前已指出，状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数 e At 。如 果给定矩阵 A 中所有元素的值，MATLAB 将提供一种计算 e AT 的简便方法，其中 T 为常数。 除了上述方法外，对 e At 的计算还有几种分析方法可供使用。这里我们将介绍其中的四 种计算方法。 2.3.1 方法一：直接计算法(矩阵指数函数) k k k At A t k A t A t e I At   = = + + + + = 0 2 2 3 3 ! 1 2! 3!  (2.9) 可以证明，对所有常数矩阵 A 和有限的 t 值来说，这个无穷级数都是收敛的。 2.3.2 方法二：对角线标准形与 Jordan 标准形法