因为f(x)是周期为2x的连续函数,由 Parseval等式 ∫f2(x ∑(a2+b2) 可知vE>0 b2) v (x)=0+2(a, cos kx+b sin kr)(n>N) 则由定理16.3.3, ∫1(x)-,(x2a=∑(a2+b2 于是 1/(x)wW,(x)dx s I/(x)=,(cx)P dr [Idx 1f(x)-n(x)因为 f (x)是周期为 2π 的连续函数，由 Parseval 等式 1 2 f ( ) x dx π π ∫ −π 2 0 2 2 1 ( ) 2 n n n a a b ∞ = = +∑ + ， 可知∀ > ε 0，∃N ，∀ > n N ， 2 2 2 2 1 ( ) 2 k k k n a b ε π ∞ = + ∑ + < 。令 ( ) n ψ x = 0 1 ( cos sin ) 2 n k k k a a kx b kx = + + ∑ ( ) n > N ， 则由定理 16.3.3， 1 2 | ( ) ( )| n f x x dx π π ψ π − − = ∫ 2 2 2 2 1 ( ) 2 k k k n a b ε π ∞ = + ∑ + < 。 于是 2 2 | ( ) ( )| | ( ) ( )| 1 n n f x x dx f x x dx π π π π ψ ψ − − − ≤ − ⋅ ∫ ∫ dx π ∫−π 2 2 1 2 | ( ) ( )| n f x x dx π π π ψ π − = ⋅ − ∫ < ε 。 5