§6.2 Landau能级 1.带电粒子在均匀磁场中的经典运动 设沿正z轴方向有强度为B的均匀磁场,一个质量为,电荷为q的带电粒子在XY平面内运动, 初始速度为γ,那么根据电磁学的知识我们知道,此后它将沿一个园轨道运动,其运动方向为:从XY 面的上方(正z轴的方向)向下看,q>0时是顺时针方向,q<0时是逆时针方向。设粒子在园轨道上 的角速度为C2=V/R,R是园的半径,那么它的运动方程是 gvB=HocR, 所以 Osb 这就是说,只取决于粒子的荷质比(q1μ)和磁场强度,而与它的速度或轨道半径无关。这个角频 率称为粒子的同步回旋( cyclotron)频率 2.带电粒子在均匀磁场中的量子运动 首先让我们写下均匀磁场的矢量势。不难证明,强度为B的均匀磁场的矢量势为 A=-Bx 证明如下 V×(B×F) V. A E.(B(v.)-(BV)=13-B)=B (B×F)=-B·(V×)=0.■ 如果 B=BE,(B>0) 那么, A B Bx. o 所以电子在均匀磁场中的 Hamiltonian算符是(设电子在YY平面内运动,注意q=-e) = eB P eB P2+P2 2 8 2+P2)+6(x2+y2)+a1L2 2 其中 0c2μ 称为 Larmor频率 显然,现在的力学量完全集是{H,L},适合采用平面极坐标系(D,)来求解,并可设 y(p,q)=R(p)e.(m=0,±1,±2,…) 平面极坐标系中的 Laplace算符是 所以把v(p,)代入能量本征方程中得到径向方程为1 §6.2 Landau 能级 1．带电粒子在均匀磁场中的经典运动 设沿正 z 轴方向有强度为  的均匀磁场，一个质量为  ，电荷为 q 的带电粒子在 XY 平面内运动， 初始速度为 v ，那么根据电磁学的知识我们知道，此后它将沿一个园轨道运动，其运动方向为：从 XY 平 面的上方（正 z 轴的方向）向下看， q  0 时是顺时针方向， q  0 时是逆时针方向。设粒子在园轨道上 的角速度为 c  = v R/ ， R 是园的半径，那么它的运动方程是 2 c qvB R =  , 所以 c . qB   = 这就是说， c 只取决于粒子的荷质比 ( q /  ) 和磁场强度，而与它的速度或轨道半径无关。这个角频 率称为粒子的同步回旋 (cyclotron) 频率。 2．带电粒子在均匀磁场中的量子运动 首先让我们写下均匀磁场的矢量势。不难证明，强度为  的均匀磁场的矢量势为 1 . 2 A r =   证明如下。 ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) (3 ) . 2 2 2   =     =    −    =  −  =  A r r r 1 1 ( ) ( ) 0. 2 2   =     = −     = A r r ▌ 如果 , ( 0) z  =    e 那么， 1 1 , , 0 . 2 2 A y x   = −       所以电子在均匀磁场中的 Hamiltonian 算符是（设电子在 XY 平面内运动，注意 q e = − ） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L L 1 ˆ ˆ ˆ 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) 2 8 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) , 2 2 x y x y y x x y z e e H P y P x e e P P x y xP yP P P x y L                = − + +                 = + + + + − = + + + + 其中 L c 1 2 2 eB    = = 称为 Larmor 频率。 显然，现在的力学量完全集是 ˆ ˆ { , } H Lz ，适合采用平面极坐标系 ( , )   来求解，并可设 i ( , ) ( ) . ( 0, 1, 2, ) e m R m      = =   平面极坐标系中的 Laplace 算符是 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , x y            +  = + +    所以把    ( , ) 代入能量本征方程中得到径向方程为