方向导数与梯度 函数=xy)在一点(xy)沿任一方向的方向导数为:9=9c0s9+9smn 其中p为x轴到方向转角。 函数:=f(xy)在一点p(x,)的梯度:gad(xy)=97+9 它与方向导数的关系是:= grad f(x,y),其中=cos97+sing·,为方向上的 单位向量。 是 gradf(x,y)在上的投影 多元函数的极值及其求法 设/(x,y0)=∫y(x0,y)=0,令:fx(xy)=A,f3(x,y0)=B,f(x,y0)=C AC-B2>0时 A<0、(x0,y0)为极大值 A>0、(x0,y)为极小值 则:AC-B2<0时, 无极值 不确定 重积分及其应用: f(x, y)dxdy=lf(rcose, sino)drdo 曲面=f(x,y)的面积A dxd ax)ay xp(x, y)do yp(x, y)do 平面薄片的重心:x=M2= M y JJp(,y)do JP(,y)do 平面薄片的转动惯量:对于c轴1,=yxy)do,对于轴,=Jx2p(x,yd 平面薄片(位于xoy平面)对轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力:F={F,F,F},其中 P(x, y)xde P(x, hyde F=- p(x, y)xd (x2+y2+a2)2 (x2+y2+a2) (x2+y2+a2)方向导数与梯度： 是 在 上的投影。 单位向量。 它与方向导数的关系是： ，其中 ，为 方向上的 函数 在一点 的梯度： 其中 为 轴到方向 的转角。 函数 在一点 沿任一方向 的方向导数为： f x y l l f f x y e e i j l l f j y f i x f z f x y p x y f x y x l y f x f l f z f x y p x y l grad ( , ) grad ( , ) cos sin ( , ) ( , ) grad ( , ) ( , ) ( , ) cos sin ∂ ∂ ∴ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = v v v v v v ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 多元函数的极值及其求法： ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − < ⎩ ⎨ ⎧ > < − > = = = = = 时 不确定 时， 无极值 为极小值 为极大值 时， 则： 设 ，令： 0 , 0 0,( , ) 0,( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AC B AC B A x y A x y AC B f x x y f y x y f xx x y A f xy x y B f yy x y C 重积分及其应用： ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ + + = − + + = + + = > = = = = = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = = + = ′ D z D y D x x y z D y D x D y D D x D D D x y a x y xd F fa x y a x y yd F f x y a x y xd F f xoy z M a a F F F F x I y x y d y I x x y d x y d y x y d M M y x y d x x y d M M x dxdy y z x z z f x y A f x y dxdy f r r rdrd 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 D 2 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (0,0, ),( 0) { , , } ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( cos , sin ) ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ θ θ θ ， ， 平面薄片（位于 平面）对 轴上质点 的引力： ，其中： 平面薄片的转动惯量：对于 轴 对于 轴 平面薄片的重心： 曲面 的面积