设M是n维欧氏空间V的一个子空间,易知M关于V的内积也成一个欧氏空间.定义 M={∈对一切B∈M有(a,B)=0 称M为M的正交补.显然M也是V的子空间 命题1.5设M是n维欧氏空间V的子空间,则V=M⊕M 证明设a∈M∩M+,则由正交补的定义得(a,a)=0.所以a=0.这说明M+M 是直和.取M的一组标准正交基E,E2,…,s,先将它扩为V的一组基 E,a1,…,an将它先正交化,再单位化由于E1,E2…,E,已经是两两正 交的单位向量,故先正交化,再单位化后保持不变,得到E1,E2…,E,Es1,…,En·显然 E1,…,En与M中向量都正交,故E1,…,En∈M.于是 V=L ,E3)+L( )cM+MCV 从而V=M⊕M 推论n维欧氏空间V中的任一两两正交的单位向量组s,E2,…,E,都可以扩充为 丿的标准正交基 证明设ML(E1,E2…,E、),在M中取出一组标准正交基E、1,…,En,则 E1,E2…,E、,Es1,…En就是V的一组标准正交基 最后介绍一下欧氏空间同构的概念. 设VV2是两个欧氏空间,如果存在V到V2的一个映射σ,满足 (1)σ是V到V2的线性空间的同构映射 2)σ保持内积关系 则称σ是欧氏空间V到欧氏空间v2的同构映射,称V与V同构 第六章§2欧氏空间中特殊的线性变换 1.正交变换 设V是n维欧氏空间,A是V内一个线性变换如果对任意a,B∈V都有 AB)=(a,B) 则称A是V内的一个正交变换 正交变换的四个等价表述 命题2.1A是n维欧氏空间V内的一个线性变换,则下列命题等价:设 M 是 n 维欧氏空间 V 的一个子空间,易知 M 关于 V 的内积也成一个欧氏空间.定义 =   |  ( , ) = 0 ⊥ M  V 对一切 M有   称 ⊥ M 为 M 的正交补.显然 ⊥ M 也是 V 的子空间. 命题 1.5 设 M 是 n 维欧氏空间 V 的子空间，则 ⊥ V = M  M . 证明 设 ⊥   M  M ,则由正交补的定义得( , )=0.所以  = 0 .这说明 ⊥ M + M 是直和 . 取 M 的 一 组 标 准 正 交 基 1 2 s  ， ，， , 先 将 它 扩 为 V 的 一 组 基 1 2 s  ， ，， , s 1 n  + ,  , .将它先正交化,再单位化.由于 1 2 s  ， ，， 已经是两两正 交的单位向量,故先正交化,再单位化后保持不变,得到 1 2 s  ， ，， , s 1 n  ,  , + .显然 s 1 n  ,  , + 与 M 中向量都正交,故 s 1 n  ,  , + ⊥ M .于是 V=L( 1 2 s  ， ，， )+L( s 1 n  ,  , + )  +  ⊥ M M V 从而 ⊥ V = M  M . 推论 n 维欧氏空间 V 中的任一两两正交的单位向量组 1 2 s  ， ，， 都可以扩充为 V 的标准正交基. 证 明 设 M=L( 1 2 s  ， ，， ), 在 ⊥ M 中取出一组标准正交基 s 1 n  ,  , + , 则 1 2 s  ， ，， , s 1 n  ,  , + 就是 V 的一组标准正交基. 最后介绍一下欧氏空间同构的概念. 设 1 2 V ,V 是两个欧氏空间,如果存在 V1到V2 的一个映射  ,满足 (1)  是 V1到V2 的线性空间的同构映射 (2)  保持内积关系. 则称  是欧氏空间 V1到欧氏空间V2 的同构映射,称 V1与V2 同构. 第六章 §2 欧氏空间中特殊的线性变换 1．正交变换 设 V 是 n 维欧氏空间，A 是 V 内一个线性变换.如果对任意 ,  V 都有 (A , A  ) = (,  ) 则称 A 是 V 内的一个正交变换. 正交变换的四个等价表述: 命题 2.1 A 是 n 维欧氏空间 V 内的一个线性变换,则下列命题等价: