() ∞2(x+1)cosx 0I+(x+ 由ab的任意性,即知1()=1+(x+402 - dx在(-x,+∞)上可微 9.利用=”d,计算∫ dx(b>a>0)。 解当y∈a时,≤e,而∫。c"收敛,所以∫e”关于 y∈[anb]一致收敛,由积分次序交换定理, d ￠=d dx 10.用从a=∫m0x,计算∫" e-p SIn bx-sIn ax b>a>0)。 解当y∈ab时,,面2,即∫关于yea句-致有界 e关于x单调,且当x→+∞时,e关于y一致趋于零。由 Dirichlet 判别法,∫。 r cos xydx关于yeab]一致收敛,由积分次序交换定理, sin bx-sin ax ∫nc"d」co)b=-"∫e-co)。 利用分部积分, cos(xy) P 于是 o e Ar Sin bx -sin ax P-d dy= arctan arctan 1!】利用∫"n4=,(a>0),计算,-J (n为正整 数) 解由于0a+x对一切a∈0)收敛,∫1=5(a+x -dx 关于a在(0+)上内闭一致收敛,因此4在a∈(0+)上可微且 成立 a(1 所以 d 同理上述积分仍可在积分号下求导,并可不断进行下去。由∫ +∞ + + + ′ = − 0 2 2 [1 ( ) ] 2( ) cos ( ) dx x t x t x I t 。 由a,b的任意性，即知 ∫ +∞ + + = 0 2 1 ( ) cos ( ) dx x t x I t 在(−∞,+∞) 上可微。 9. 利用 ∫ − − − = − b a xy ax bx e dy x e e ，计算∫ +∞ − − − 0 dx x e e ax bx （b > a > 0）。 解 当 y a ∈[ ,b] 时， xy ax e e − − ≤ ，而 收敛，所以 关于 一致收敛，由积分次序交换定理， 0 ax e dx +∞ − ∫ 0 xy e dx +∞ − ∫ y a ∈[ ,b] ∫ +∞ − − − 0 dx x e e ax bx a b y dy dx e dy dy e dx b a xy b a b a xy ln 0 0 = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ − − +∞ 。 10．利用 ∫ = − b a xydy x bx ax cos sin sin ，计算∫ +∞ − − 0 sin sin dx x bx ax e px （ ， ）。 p > 0 b > a > 0 解 当 y a ∈[ ,b]时， 0 2 cos A xydx a ≤ ∫ ，即 0 cos A xydx ∫ 关于 y a ∈[ ,b]一致有界； px e− 关于 x单调，且当 x → +∞时， px e− 关于 一致趋于零。由 Dirichlet 判别法， 关于 y 0 cos px e xydx +∞ − ∫ y a ∈[ ,b]一致收敛，由积分次序交换定理， ∫ +∞ − − 0 sin sin dx x bx ax e px ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ − +∞ − = = 0 0 e dx cos(xy)dy dy e cos(xy)dx px b a b a px 。 利用分部积分， ∫ +∞ − 0 e cos(xy)dx px 2 2 p y p + = ， 于是 ∫ +∞ − − 0 sin sin dx x bx ax e px p a p b dy p y b p a arctan arctan 2 2 = − + = ∫ 。 11．利用∫ +∞ = 0 + 2 a x 2 a dx π （a > 0 ），计算 ∫ +∞ + + = 0 2 1 ( ) n n a x dx I （ 为正整 数）。 n 解 由于∫ +∞ + 0 2 a x dx 对一切a ∈ (0,+∞) 收敛， 2 0 1 dx a a x +∞ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ∂ + ⎝ ⎠ ∫ ( )2 0 2 dx a x +∞ − + ∫ 关于a 在(0,+∞)上内闭一致收敛，因此∫ +∞ + 0 2 a x dx 在a ∈ (0,+∞) 上可微且 成立 2 0 d dx da a x +∞ = + ∫ 2 0 1 dx a a x +∞ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ∂ + ⎝ ⎠ ∫ 2 2 0 ( ) dx a x +∞ − + ∫ ， 所以 2 2 d I da a ⎛ ⎞ π = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 同理上述积分仍可在积分号下求导，并可不断进行下去。由 6