实验16常微分方程初值问题的数值解法 参考答案 1.利用Euler方法求初值问题的程序：function E=eulers(f,ab,yah)(见代码文件) 取步长分别为h=0.5和h=0.25求得的序列分别为 00.5115T, 25 y10.750.68750.7656250.94921875121191406251.533935546875 0 0.250.5 075 1 125 15 1 0.875 0.796875 0.759765620.758544920.7887268060.846385955 1875 640625 810547 1.75 2 2.25 2.5 2.753 0.9280877111.030826741.15197340 1.289226721.440573381.604251714 y334229 741745 399027 849149 74300500129 易见，该问题的精确解为)=3eP-2+,故3)=1.66939048044529。所以1=3处的最终全月 误差为E0(3),0.5)=0.135454933570289,E0(3),0.25=0.0651387664439962。得到的步进结 果图如下。可见，对同一种方法，采用较小的步长误差比较小。 05 25 2.改进的Euler方法求初值问题的程序：function IME=-impeuler(E,ab,yah)(见代码文件) 取步长分别为h=0.5和h=025求得的序 分别为 100.5 1 1.5 2 2.5 3 0.84370.8310546870.9305114746093 1.117587089538 1.373114913702 1.68212102632 75 57 01 97 0 0.25 0.5 0.75 1.25 1.5 0.83807373 0.814080715 0.8221962560.8586576320.920143066 0.8984375 046875 179443 369352 576069 258561 175 225 2.5 2.75 3 1.00372005 1.10679973 1.22709663 1.362593126 1.511507994 1.672268776 068139 224216 8%2003 28175 29561 21409 1=3处的最终全局误差为E0(3),0.5)=-0.0127305458844067实验 16 常微分方程初值问题的数值解法 参考答案 1. 利用 Euler 方法求初值问题的程序：function E=eulers(f,a,b,ya,h)（见代码文件） 取步长分别为 h = 0.5 和 h = 0.25 求得的序列分别为 t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y 1 0.75 0.6875 0.765625 0.94921875 1.2119140625 1.533935546875 t 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 y 1 0.875 0.796875 0.75976562 5 0.75854492 1875 0.788726806 640625 0.846385955 810547 t 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 y 0.928087711 334229 1.03082674 741745 1.15197340 399027 1.28922672 849149 1.44057338 743005 1.604251714 00129 易见，该问题的精确解为 y=3e-t/2 -2+t，故 y(3)=1.66939048044529。所以 t =3 处的最终全局 误差为 E(y(3), 0.5)= 0.135454933570289, E(y(3), 0.25)= 0.0651387664439962。得到的步进结 果图如下。可见，对同一种方法，采用较小的步长误差比较小。 2. 改进的 Euler 方法求初值问题的程序：function IME=impeuler(f,a,b,ya,h)（见代码文件） 取步长分别为 h = 0.5 和 h = 0.25 求得的序列分别为 t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y 1 0.8437 5 0.831054687 5 0.9305114746093 75 1.117587089538 57 1.373114913702 01 1.68212102632 97 t 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 y 1 0.8984375 0.83807373 046875 0.814080715 179443 0.822196256 369352 0.858657632 576069 0.920143066 258561 t 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 y 1.00372005 068139 1.10679973 224216 1.22709663 862003 1.362593126 28175 1.511507994 29561 1.672268776 21409 t =3 处的最终全局误差为 E(y(3), 0.5)= -0.0127305458844067