b=Fq2+120<2<F F=F2q3+r3,0<<F2, ra+I n4n+111n+1 因为F>2>…≥0,所以经有限n步后必有r+1=0。这时 (a,b)=(b,n1)=(12F2)=(F2,r)=…=(n-1,n)=n 这种算法叫 Euclid算法,也叫辗转相除法。 813有理整数环的理想 定义81(理想的定义)设/是Z的一个非空子集,且满足下列条件 (i)若a.b∈I,则a-b∈I (i)若a∈I,则对任意b∈Z有ab∈l 则称为Z的一个理想。 显然,单由0组成的子集{0}及Z自身都是理想,这两个理想称作平凡理想,{0}称为 零理想。Z的其他理想称为非平凡理想 定义8.2(主理想的定义)任给a∈Z,定义 (a)={ka|k∈Z}, 则称(a)为由a生成的主理想。 显然,(O)={0}、(1)=Z为平凡理想,其他理想均为非平凡主理想。关于理想,我们有 以下简单的性质: 1)(a)(b)且(b)≠{0}→b|a 2)(a)=(b)a=土b。 命题有理整数环的理想都是主理想,即设/是Z的一个理想,则存在非负整数a 使I=(a)。 证明若Ⅰ是零理想0},取a=0即可。现设Ⅰ≠{0},于是中必有非零之整数,现 令a为/中的最小正整数,他显然存在且唯一。此时对任意k∈Z都有ka∈l,于是(a)1。 反之,设b为Ⅰ中任意整数,按带余除法,存在q,r∈Z,使b=aq+r,0≤r<a。又因 r=b-qg∈,由a的最小性知r=0。故b=qg∈(a),即Ic(a)。于是I=(a)。 定义8.3(主理想整环(PID)的定义)设R为一交换环,如果R中的理想皆为主 理想,则称R为主理想环。如果R同时又为整环(即环R至少包含两个元素,交换,有幺 元,无零因子),则称R为主理想整环。 现在我们来看一下理想的性质:1 2 2 2 1 1 2 3 3 3 2 1 1 1 ,0 , ,0 , . n n n n b r q r r r r r q r r r r r q r − + + = +   = +   = + 因为 1 2 r r    0 ，所以经有限 n 步后必有 1 0 n r + = 。这时， 1 1 2 2 3 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n a b b r r r r r r r r = = = = = = − 这种算法叫 Euclid 算法，也叫辗转相除法。 8.1.3 有理整数环的理想 定义 8.1（理想的定义） 设 I 是 Z 的一个非空子集，且满足下列条件： （i） 若 a b I ,  ，则 a b I −  ； （ii） 若 a I  ，则对任意 bZ 有 ab I  ， 则 I 称为 Z 的一个理想。 显然，单由 0 组成的子集{0}及 Z 自身都是理想，这两个理想称作平凡理想，{0}称为 零理想。 Z 的其他理想称为非平凡理想。 定义 8.2（主理想的定义） 任给 aZ ，定义 ( ) { | }, a ka k = Z 则称 ( ) a 为由 a 生成的主理想。 显然，(0)={0},(1)= Z 为平凡理想，其他理想均为非平凡主理想。关于理想，我们有 以下简单的性质： 1） ( ) ( ) a b  且 ( ) {0} | b b a   ； 2） ( ) ( ) a b a b =  =  。 命题 有理整数环的理想都是主理想，即设 I 是 Z 的一个理想，则存在非负整数 a ， 使 I a = ( )。 证明 若 I 是零理想{0}，取 a =0 即可。现设 I  {0} ，于是 I 中必有非零之整数，现 令 a 为 I 中的最小正整数，他显然存在且唯一。此时对任意 k Z 都有 ka I  ，于是 ( ) a I  。 反之，设 b 为 I 中任意整数，按带余除法，存在 q r, Z ，使 b aq r r a = +   , 0 。又因 r b aq I = −  ，由 a 的最小性知 r = 0 。故 b aq a = ( ) ，即 I a  ( ) 。于是 I a = ( ) 。 定义 8.3（主理想整环（PID）的定义） 设 R 为一交换环，如果 R 中的理想皆为主 理想，则称 R 为主理想环。如果 R 同时又为整环（即环 R 至少包含两个元素，交换，有幺 元，无零因子），则称 R 为主理想整环。 现在我们来看一下理想的性质：