9()=9、()5()d=∫x()5(0d=( ∫是任意的,所以由定义即是J 例2c,7,L[a,b]都不是自反的 这里仅验证’我们知道(1)=F,并且空间是可分的,P不 可分,若自反,则必有()=1,这与本章第16讲定理15的结论 矛盾 定理1若X是自反空间,则X的任一闭线性子空间Y是自反空 证明设YcX是闭线性子空间,JY→Y"是自然嵌入映射 对于每个y”∈”和x∈x’,记x为x在y上的限制并且令 y 则x”∈X”,于是存在x∈X,J(x)=x 现在证明x∈Y,若不然,Y是闭子空间,xgY,则存在 x’∈X,x(x)=1,x(y)=0,(y∈).于是 1=x(y)=x(x)=y(x)=0 矛盾,由此改记x=y 对于y∈Y,y可以延拓为X上的连续线性泛函x,使得 x=y,从而由()式得到2 ( ) () () () () ( ) b b x x a a ϕ ϕξ ξ f = == t t dt x t t dt f x ∫ ∫ ， f 是任意的，所以由定义 ϕ 即是 J . 例 2 0 c ， 1 l ， [ ] 1 L ab, 都不是自反的. 这里仅验证 1 l ，我们知道 ( ) 1 l l ∗ ∞ = ，并且空间 1 l 是可分的， l ∞ 不 可分，若 1 l 自反，则必有 ( ) 1 l l ∗ ∞ = ，这与本章第 16 讲定理 15 的结论 矛盾. 定理 1 若 X 是自反空间，则 X 的任一闭线性子空间 Y 是自反空 间. 证明 设 Y X ⊂ 是闭线性子空间， JY Y : ∗∗ ′ → 是自然嵌入映射. 对于每个 y Y ∗∗ ∗∗ ∈ 和 x X ∗ ∗ ∀ ∈ ，记 Y x∗ 为 x∗ 在 Y 上的限制并且令 ( ) ( ) Y xx yx ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ = , ( ) 1 则 x X ∗∗ ∗∗ ∈ ，于是存在 x∈ X ， Jx x ( ) ∗∗ = . 现在证明 x∈Y ，若不然， Y 是闭子空间， x∉Y ，则存在 0 x X ∗ ∗ ∈ , x x 0 ( ) 1 ∗ = ， x y 0 ( ) 0 ∗ = ， (∀ ∈y Y ) . 于是 1 0 0 00 0 ( ) ( ) ( ) Y xy x x yx ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ == = = ， 矛盾，由此改记 x = y. 对 于 y Y ∗ ∗ ∀ ∈ ， y∗ 可以延拓为 X 上的连续线性泛函 x∗ ，使得 Y x y ∗ ∗ = , 从而由 ( ) 1 式得到 yy xx x x y y ( ) ( ) ( ) ( ) ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ == =