中学生数学2009年7月上·第373期高中) 奥赛题简捷证明的美中不足及另证 学 天津港口管理中专(300456)黄兆麟 题目2004年西部数学奥林匹克竞赛题) 赛 求证：对任意正实数a,b,c,都有 证明令x=号y=后：=号xy. >0且xy:=1) 霞 1<+店++ 文1利用抽屉原理给出右边的不等式证 则特证不等式化为十+ 法有误！文1首先利用 +: i+8之b得到2+a中6 注意到xyz=1,故由抽屉原理知x,y,:三 者中必有两个不大于1或不小于1. 从而推出5+后+h7+ + 不失一般性可设这两个数为x,y.则有 h+而at6+6+e++。 但上式并不能完全推出2+ +西h+ 5 +x+y+xy 例如，取a=3,b=2,c=1时有4=。6 +2+w 5 事实上，可以证明只要当①a>b>c或b >c>a或c>a>b时”都有4>子：而只有当② 从而+本+本 “ba元或a元≥b或c≥b≥a时”才有A≤ 子换言之，文的证法只对排序②财有效 即此时有 h 2++ 2(6+c) + 中 学 h+而a+中++。≤ 生 即有店后 而文1/的证法对排序①来说是不正确 参考文献 学 的！犯了放缩方向反向导致的错误！ 1)王远征.西部数学奥赛一题优美简 下面利用抽屉原理给出该题另一种正确 捷的证明与推广.中学生数学2008.12（上）Ps 的证法，供参考。 (责审李延林 网址：zxs.chinajournal,net,cn ·28 当子邮箱：2xs@nm0ural.n.cn 1994-2009 China Academie Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net中学生数学 ·2009 年 7 月上 ·第 373 期(高中) 网址 : zxss. chinajournal. net . cn 电子邮箱 : zxss @chinajournal. net . cn 数 学 竞 赛 之 窗 中 学 生 数 学 奥赛题简捷证明的美中不足及另证 天津港口管理中专(300456) 黄兆麟 题目 (2004 年西部数学奥林匹克竞赛题) 求证 :对任意正实数 a , b, c ,都有 1 < a a 2 + b 2 + b b 2 + c 2 + c c 2 + a 2 ≤ 3 2 2 . 文[1 ]利用抽屉原理给出右边的不等式证 法有误 ! 文[1 ]首先利用 a 2 + b 2 ≥2 ab得到 a 2 ( a 2 + b 2 ) ≤ a a + b . 从而 推 出 a 2 ( a 2 + b 2 ) + b 2 ( b 2 + c 2 ) + c 2 ( c 2 + a 2 ) ≤ a a + b + b b + c + c c + a . 但上式并不能完全推出 a 2 ( a 2 + b 2 ) + b 2 ( b 2 + c 2 ) + c 2 ( c 2 + a 2 ) ≤ 3 2 . 例如 ,取 a = 3 , b = 2 , c = 1 时有 A = a a + b + b b + c + c c + a = 91 60 > 3 2 . 事实上 ,可以证明只要当 ①“a > b > c 或 b > c > a 或 c > a > b时”都有 A > 3 2 ;而只有当 ② “b≥a ≥c 或 a ≥c ≥b 或 c ≥b ≥a 时”才有 A ≤ 3 2 . 换言之 ,文[ 1 ]的证法只对排序 ②才有效 , 即 此 时 有 a 2 ( a 2 + b 2 ) + b 2 ( b 2 + c 2 ) + c 2 ( c 2 + a 2 ) ≤ a a + b + b b + c + c c + a ≤ 3 2 ] a a 2 + b 2 + b b 2 + c 2 + c c 2 + a 2 ≤ 3 2 2 . 而文[ 1 ]的证法对排序 ①来说是不正确 的 ! 犯了放缩方向反向导致的错误 ! 下面利用抽屉原理给出该题另一种正确 的证法 ,供参考. 证明 令 x = b 2 a 2 , y = c 2 b 2 , z = a 2 c 2 ( x , y , z > 0 且 x y z = 1) . 则待证不等式化为 1 1 + x + 1 1 + y + 1 1 + z ≤ 3 2 2 . 注意到 x y z = 1 ,故由抽屉原理知 x , y , z 三 者中必有两个不大于 1 或不小于 1. 不失一般性可设这两个数为 x , y ,则有 ( 1 1 + x - 2 2 ) ( 1 1 + y - 2 2 ) ≥0 ] 1 1 + x + 1 1 + y ≤ 2 2 + 2 1 + x + y + x y ≤ 2 2 + 2 1 + 2 x y + x y = 2 2 + 2 1 + x y . 从而 1 1 + x + 1 1 + y + 1 1 + z ≤ 2 2 + 2 1 + x y + 1 1 + 1 x y ≤ 2 2 + 2 1 + x y + 2 1 + 1 x y = 3 2 2 . 即有 a a 2 + b 2 + b b 2 + c 2 + c c 2 + a 2 ≤ 3 2 2 . 参考文献 [1 ] 王远征. 西部数学奥赛一题优美简 捷的证明与推广. 中学生数学 2008. 12 (上) P25 (责审 李延林) ·28 ·