华东师大数学分析2001年试卷 (30分)简单计算题 (1)验证当x→时,xem与e为等价无穷大量 (2)求不定积分叫+xh (3)求曲线积分/=(y2-cosy+ xsin yd,其中有向曲线O为沿着正弦曲 线y=sinx从O(0.0)到点A(x,0) (4)设∫为可微函数,l=f(x2+y2+2),并有方程3x+2y2+z3=6xz,试 对以下两种情形分别计算在点P(,1,1)处的值; 1)由方程确定了隐函数z=x(x,y) 2)由方程确定了隐函数z=二(,x) 、(12分)求椭球 1与锥ab2 =0(二≥0)所围成的立体 三、(12分)证明:若函数f(x)在有限区域(a,b)内可导,但无界,则其导函数f(x) 在(a,b)内必无界 四、(12分)证明:若∑an绝对收敛,则∑an(a4ta2+…+an)亦必绝对收敛 五、(17分)设f(x)在[0,1上连续,f()=0,证明: 1.(x}在0上不一致收敛 2.{(x)x)}在上一致收敛 六、(17分)设函数f(x)在闭区间[ab]上无界,证明 1.彐{xn}<[ab],使得imf(x)=∞ 2.彐{c}c[ab],使得δ>0,f(x)在(c-δ,c+δ)∩[a,b]上无界.(此题鼓励 多种证法)华东师大数学分析 2001 年试卷 一、（30 分）简单计算题 （1） 验证当 x Æ •时， 2  0  2 x t  x e dt Ú 与 2 x e  为等价无穷大量. （2） 求不定积分 2  ln(1 x )dx  x + Ú . （3） 求曲线积分 ª 2  ( cos ) sin OA  I = y - y dx + x ydy Ú ,其中有向曲线OAª 为沿着正弦曲 线 y = sin x 从 O（0,0）到点 A(p,0) . （4） 设 f 为可微函数， 2 2 2  u = f (x + y + z )，并有方程 2 3  3x + 2y + z = 6xyz ，试 对以下两种情形分别计算 u x ¶ ¶ 在点 0  P (1,1,1) 处的值； 1) 由方程确定了隐函数 z = z(x, y);  2) 由方程确定了隐函数 z = z(z, x) ;  二、（12 分）求椭球 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 与锥面 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c + - = (z ³ 0)所围成的立体. 三、（12 分） 证明： 若函数 f (x ) 在有限区域(a,b )内可导， 但无界， 则其导函数 '  f (x ) 在(a,b )内必无界. 四、（12 分）证明：若 1 n  n  a • =Â 绝对收敛，则 1 2  1  ( ) n n  n  a a a a • =Â + +ggg + 亦必绝对收敛。 五、（17 分）设 f (x ) 在[0,1]上连续， f (1) = 0，证明： 1. { } n x  在[0,1]上不一致收敛； 2. { ( ) } n f x x  在[0,1]上一致收敛； 六、（17 分）设函数 f (x ) 在闭区间[a,b]上无界，证明： 1. ${xn } Ã [a,b]，使得lim ( ) ; n n f x Æ• = • 2. ${c} Ã [a,b] ，使得"d > 0, f (x)在(c-d ,c +d )I [a,b]上无界.（此题鼓励 多种证法）