98 高等数学重点难点100讲 Cos s sane tana os'P 可见应考虑f(x)=tanx,x∈[a,B]c[0,2) (2)由拉格朗日公式得 tanB-ta Y COs'F Q<s<B) (3)在[a,B上,导函数f(x)=_1 cosx是单调增的,即 cosa cos'r cosB (a≤x≤B) 特别地,有 osa cos'$ cos P tang- tana 即 cOS cos’或B-a<tan- tang cos P COS a 例3设函数f(x)在闭区间ab]上连续,在(a,b)内二阶可导,且/(a)=f(b)=0 f(c)>0,c∈(a,b),则在(a,b)内至少有一点,使f"(})<0. 证由拉格朗日中值定理知 在(a,)内存在一点,使()=1(c)-/(a 在(,b)内存在一点2,使f()≈f(b)-f(c) b 在(1y2)内存在一点{,使f”()= f(2)-f(5)<0(注:这最后一个结果是对函数 f(x)在[31,2]上使用拉格朗日中值定理而得到的),d<51<<<b 即存在一点∈(a,b),使f"(y)<0. 、拉格朗日中值定理在求导方面的应用 在第20讲中我们讲过对于分段函数在分界点处的单侧导数的求法,对初学者来说,应 该用导数定义来求.用拉格朗日中值定理可以证明:在函数满足一定的条件下,单侧导数可 以不用定义来求,有下面的定理 定理(1)设函数∫(x)在区间[xob)上连续,在(x,b)内可导,且极限lm(x)=,1 存在,则右导数f(x)存在,并有f(x0)=A; (2)设函数f(x)在区间(a,x。上连续,在(a,x)内可导,且极限limf(x)=存在 则左导数f-(x)存在,并有f-(x0)=A; (3)当极限limf(x)=∞时,函数∫(x)在x不可导 证(1)(结论(2),(3)的证明留给读者)任取x∈(x,b),在区间「xax]上应用拉格朗 日中值定理,得 。),x0<§ 于是,”+(x)=lim f(xo2- lim P()(x-xo)= lim /(s) 当x→x+时,由两边夹法则知,→x。+,因此limf( ) lim f(s)