线性常微分方程的幂级数解 第5页 rn+1+ 2n+1 6(2n+1) r(1+ 正如定理所说,任意给定一组初条件c和q1,就一定可以求出方程的一个特解.特别 如果取co=1,c1=0,就得到特解y(x) 如果取co=0,c1=1,就得到特解v2(x) 显然,这两个特解孙(x)和y2(x)是线性无关的.从这两个线性无关特解出发,就可以构 造出方程的通解. ·如果把上面解式中的常数c和c1看成是任意叠加常数,上面得到的就是方程 的通解 关于解的奇偶性的讨论.上面求得的特解中,(x)只含有x的偶次幂,y(x)只含有x的奇 次幂,即y(x)是x的偶函数,y2(x)是x的奇函数.从求解的过程来看,这是由于递推关系中只 出现系数ck+2和ck,而与ck+1无关,因此c2n完全由c决定,c2n+1完全由q1决定.从根本上 来说,方程的解的对称性(这里指的是奇偶性),当然应该是方程的对称性的反映 通过这个实例,可以看出在常点邻域内求级数解的一般步骤.这就是: 将(方程常点邻域内的)解展开为 Taylor级数,代入微分方程 比较系数,得到系数之间的递推关系 ·反复利用递推关系,求出系数ck的普遍表达式(用co和c1表示),从而最后得出级数解; 由于递推关系一定是线性的(因为方程是线性的),所以最后的级数解一定可以写成 u(2)=c0u1(z)+c12(z) 的形式 需要指出,在系数之间的递推关系中,一般会同时出现ck,Ck+1,ck+2三个相邻的系数,因此 k会同时依赖于c和c1,最后求得的u1(2)或u2(z)就不会只含有z的偶次幂或奇次幂 应用常微分方程的幂级数解法,可以得到方程在一定区域内的解式.我们也可以根据需要, 求出方程在不同区域内的解式,可以证明,方程在不同区域内的解式,互为解析延拓.因此,也可 从方程在某一区域內的解式出发,通过解析延拓,推出方程在其他区域内的解式 例6.4设u1是方程 +p( 的解,在区域G1内解析.若ω是ω1在区域G2内的解析延拓,即￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ ✒ 5 ✓ y2(x) = X∞ n=0 2 2n (2n + 1)! Γ  n − l − 1 2  Γ  − l − 1 2  Γ  n + 1 + l 2  Γ  1 + l 2  x 2n+1 . ä❷❘➴➎ñ❯ÑÒ✏❘➁✑❰➫➭ c0 ❈ c1 ❯î➁❘Ù➏ïð❋●❍➁➂❙▲❑❙❚ ▼❯ • ❷❸✒ c0 = 1, c1 = 0 ❯îúû❙▲ y1(x) ✓ • ❷❸✒ c0 = 0, c1 = 1 ❯îúû❙▲ y2(x) ❑ àá❯Ö➌➂❙▲ y1(x) ❈ y2(x) ▼✔❲ ➙ ☛❍❑✕ Ö➌➂✔❲ ➙ ☛❙▲ð✖❯îÙ➏✗ ✘ ð❋●❍✙▲❑ • ❷❸Ú✚➘▲é ❽❍❼❏ c0 ❈ c1 ✛✎▼ÑÒ✜➼ ❼❏❯✚➘úû❍î▼❋● ❍✙▲❑ ☎✢➸❃✣✤✻❃✥✦❑✚➘ïú❍❙▲ ❽❯ y1(x) ✧★➀ x ❍✩✪✫❯ y2(x) ✧★➀ x ❍➄ ✪✫❯➩ y1(x) ▼ x ❍✩☞❏❯ y2(x) ▼ x ❍➄☞❏❑✕ ï▲❍✬●✭✛❯Ö▼ P✮✠✡☛■ ❽✧ ð✯■❏ ck+2 ❈ ck ❯✰ã ck+1 ➙ ☛❯ ➤➥ c2n ◆❖ P c0 ◗❘❯ c2n+1 ◆❖ P c1 ◗❘❑✕×✱ ✚ ✭ñ❯❋●❍▲❍✲❉❲ (Öâ✳❍▼➄✩❲) ❯✴ á✵✶▼❋●❍✲❉❲❍✝✷❑ ✙✬Ö➂✸✹❯Ù➏✛ð❹❼❺ÛÜ ➱ïß❏▲❍➁✺✻✼❑Öî▼➍ • ç (❋●❼❺ÛÜ ➱❍) ▲ÝÞ❊ Taylor ß❏❯êë❒❮❋●✓ • ìí■❏❯úû■❏￾✁❍✠✡☛■✓ • ✝✞✟ó✠✡☛■❯ïð■❏ ck ❍✽✾ô✿é (ó c0 ❈ c1 ôõ) ❯ ✕ ✰❀❁úðß❏▲✓ P✮✠✡☛■➁❘▼✔❲❍ (➤ ❊❋●▼✔❲❍) ❯➎➏❀❁❍ß❏▲➁❘Ù➏✍✎ w(z) = c0w1(z) + c1w2(z) ❍èé❑ ❂➣ ✳ð❯❹■❏￾✁❍✠✡☛■ ❽❯➁✺❃❄❅ð✯ ck, ck+1, ck+2 ❆➂❇Û❍■❏❯➤➥ ck ❃❄❅❈❉✮ c0 ❈ c1 ❯❀❁ïú❍ w1(z) ❊ w2(z) î➃❃✧★➀ z ❍✩✪✫❊➄✪✫❑ ✵ ó❼❒❮❋●❍✫ß❏▲❋❯Ù➏úû❋●❹➁❘●Ü ➱❍▲é❑❍■❏Ù➏×Ø❂➣ ❯ ïð❋●❹➃❄●Ü ➱❍▲é❑Ù➏➽ ➾❯❋●❹➃❄●Ü ➱❍▲é❯❑ ❊▲❱▲▼❑ ➤➥❯❏Ù ✕ ❋●❹◆➁●Ü ➱❍▲éð✖❯✙✬▲❱▲▼❯✡ð❋●❹➓➔●Ü ➱❍▲é❑ ➅ 6.4 ❖ w1 ▼❋● d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0 (6.3) ❍▲❯❹●Ü G1 ➱▲❱❑P we1 ▼ w1 ❹●Ü G2 ➱❍▲❱▲▼❯➩