第十二讲r函数 第3页 8122r函数的基本性质 性质1r(1)=1 直接在T函数的定义中代入z=1即可得到这个结果 性质2r(z+1)=z(2) 证根据I函数的定义 T(2+1)=/e-t=dt 2/e-t-at=r().口 对于这个结果可以从两个角度来理解 一是尽管在证明过程中用到了条件Rez>0.但由于r(a+1)和ar(2)都在全平面解 析(z=0,-1,一2,…除外),因此,根据解析延拓原理,可以断定,这个递推关糸在 全平面均成立 ·另一方面,也可以直接通过递推关糸来完成『函数的解析延拓,这时,可将递推关糸 改写成 上式左端的函数在半平面Rez>0上解析,右端的函数在半平面Rez>-1上解析 两者在公共区域Rez>0上相等;由此可见,T(z+1)/z就是右端的r(z)在区域 Rez>-1上的解析延拓.而且,如果把延拓后得到的结果仍记为r(a),这就是说 可以把 r(x)=-r(z+1),2≠0 看成是(z)在区域Rez>1上的定义,而z=0点是r函数的一阶极点、,resr(0)=1 ·重复上述步骤,还可以将『函数延拓到区域Rez>-2 I(2)=2(2+1(x2+2) ≠0,-1 z=-1也是函数的一阶极点,resr(-1)=-1 ·如此继续,就可以将『函数解析延拓到全平面,而z=0,-1,-2,…都是函数的 阶极点 (_m)Wu Chong-shi ￾✁✂✄ Γ ☎ ✆ ✝ 3 ✞ §12.2 Γ ✍✎✏✄☎✆✝ ✞✟ 1 Γ (1) = 1 ✵ ðñ❋ Γ ✕✖✗✛✜ ✮❧✠ z = 1 ➶❤➂➏✣✤➭÷✵ ✞✟ 2 Γ (z + 1) = zΓ (z) ✵ ✡ ☛☞ Γ ✕✖✗✛✜ Γ (z + 1) = Z ∞ 0 e −t t zdt = −e −t t z    ∞ 0 + Z ∞ 0 e −t ztz−1 dt = z Z ∞ 0 e −t t z−1 dt = zΓ (z). ✌Ñ✍✎✏✑í ✒✓✔✎ ✕✖✗✘Ý ✵ • ëÙ✙ ✚Ú✛ ✜✢✣ ✤Ðå â✥✦ Re z > 0 ✵✧ ★Ñ Γ (z + 1) ✩ zΓ (z) ✪ ÚÛÜ ➷Ý Þ (z = 0, −1, −2, · · · ✫✬) ✬ßà✬✭✮ÝÞãä✯✘✬í ✒✰❒✬✍✎✱✲ ✳✴Ú ÛÜ ➷✵✶✷✵ • ✸ ëè ➷✬✹í ✒✺✻✼✢✱✲ ✳✴✗ ✽✶ Γ ✃❐➱ÝÞãä✵✍✾✬íê✱✲ ✳✴ ✿ ❀✶ Γ (z) = 1 z Γ (z + 1). ➴❁❂❃➱ ✃❐Ú❄Ü ➷ Re z > 0 ➴ÝÞ✬❅❃➱ ✃❐Ú❄Ü ➷ Re z > −1 ➴ÝÞ❆ ✔❇Ú❈❉ ❊❋ Re z > 0 ➴●❍❆★àí■✬ Γ (z + 1) /z ❏ Ù❅❃➱ Γ (z) Ú ❊❋ Re z > −1 ➴➱ÝÞãä✵❑▲✬▼✑◆ãä❖På➱✏✑◗❘á Γ (z) ✬✍ ❏ Ù❙✬ í ✒◆ Γ (z) = 1 z Γ (z + 1), z 6= 0 ❚✶Ù Γ (z) Ú ❊❋ Re z > 1 ➴➱❒❮✬ ❑ z = 0 ❯ Ù Γ ✃❐➱ë❱❲❯ ✬ res Γ (0) = 1 ✵ • ❳❨➴❩ ❬❭✬❪í ✒ê Γ ✃❐ãäå ❊❋ Re z > −2 ✬ Γ (z) = 1 z(z + 1)Γ (z + 2), z 6= 0, −1. z = −1 ✹Ù Γ ✃❐➱ë❱❲❯ ✬ res Γ (−1) = −1 ✵ • ▼à❫❴✬ ❏í ✒ê Γ ✃❐ÝÞãäåÛÜ ➷✬ ❑ z = 0, −1, −2, · · · ✪ Ù Γ ✃❐➱ë ❱❲❯ ✬ res Γ (−n) = (−1)n n! .