§21.2球面调和函数 第6页 而一般解则为m2(r,0,。)=rP(ssm,1=01,2,…,m=1,2,…, u(,0,d)=∑∑rPr( os 0)[Alm cos mo+ Blm sin me l=0m=0 综合19讲第4节和本讲第1节的讨论,可以看出,l或m不同的球面调和函数在整个4π立 体角上是彼此正交的 Pr(cos 0)Pa(cos e)sin 0 de/ cos mo cos no do=0, PI(cos O)PR (cos 0)sin 0 de/ sin mo sinnodo=0, Itk, mfn, Jo PT(cos)Pk(os) sine/ cos mo sin no do=0,1≠k,m≠ 同样,还可以写出球面调和函数的模方 [P(cos e)]"sin 0de/cos? dd (1+m)! Pr(cos 0)]sin 0de/sin dp 20 在物理上常用的是另一种形式的球面调和函数 ★第一,是将本征值问题 更+p=0, p()=(2x),、(0)=(2x 的解在形式上写成 本征值 m=0,±1,±2,土3 本征函数重m()=emn 这样,对应于一个本征值M=l(+1),l=0.,1,2,3,…,偏微分方程本征值问题的本征函数就是 S1n(,)=Pll(os6)em,m=0,±1,±2…,± 这样定义的球面调和函数,其正交关系和模方可以写成更简单的形式, SIm(0, o)Skn(e, o)sin dedo= (+|m)!4π (-m)!2+7k6mn 由于现在的本征函数是复函数,所以在正交关糸和模方的公式弌中,要把其中的一个本 征函数取复共轭.其直接原因是为了保证本征函数的模方恒为正值Wu Chong-shi §21.2 ➵➅➆➇♣q r 6 s ✽ ulm2(r, θ, φ) = r lP m l (cos θ) sin mφ, l = 0, 1, 2, · · · , m = 1, 2, · · · , l. ❅ ❀➉▼ ❉ ■ u(r, θ, φ) = X∞ l=0 X l m=0 r lP m l (cos θ) [Alm cos mφ + Blm sin mφ] . ➈➉ 19 ✼✽ 4 ✾ ✽ ❺✼✽ 1 ✾ ✺➤➥❂ ◆❍➊ ❹❂ l ➋ m ❐➮❮❺❻❼❽ÐÑ➀➌➍ 4π ➎ ➏➐Ô➑➒➓ÕÖ❮ ❂ Z π 0 P m l (cos θ)Pn k (cos θ) sin θ dθ Z 2π 0 cos mφ cos nφ dφ = 0, l 6= k, m 6= n, Z π 0 P m l (cos θ)Pn k (cos θ) sin θ dθ Z 2π 0 sin mφ sin nφ dφ = 0, l 6= k, m 6= n, Z π 0 P m l (cos θ)Pn k (cos θ) sin θ dθ Z 2π 0 cos mφ sin nφ dφ = 0, l 6= k, m 6= n. ➔ ❁❂➐◆❍❖❹ ❺❻❼❽ÐÑ❮→ ✈ Z π 0 P m l (cos θ) 2 sin θdθ Z 2π 0 cos2mφ dφ = (l + m)! (l − m)! 2π 2l + 1 (1 + δm0), Z π 0 P m l (cos θ) 2 sin θdθ Z 2π 0 sin2mφ dφ = (l + m)! (l − m)! 2π 2l + 1 . ✶➣↔➢➦❴✺ ❄ ✪ ❀✰ ◗❘✺❥⑨↕✽ ❽ ❵✢ F ✽❀❂❄➨ ❺❻❼➼① Φ 00 + µΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ 0 (0) = Φ 0 (2π). ✺▼✶◗❘➢❖P ❺❻❼ µm = m2 , m = 0, ±1, ±2, ±3 · · ·, ❺❻❽❵ Φm(φ) = eimφ . ❏ ❁❂➄ ➶② ❀✘❺❻❼ λl = l(l + 1) ❂ l = 0, 1, 2, 3, · · · ❂ ❷ ❤ ✰ ✴✵❺❻❼➼①✺ ❺❻❽❵ ❯❄ Slm(θ, φ) = P|m| l (cos θ)eimφ, m = 0, ±1, ±2, · · ·, ±l. ❏ ❁❭✍ ✺❥⑨↕✽ ❽ ❵ ❂ ⑥ ❈➴➃❇✽ ✶✴ ◆❍❖P➙❿➛✺◗❘❂ Z π 0 Z 2π 0 Slm(θ, φ)S ∗ kn(θ, φ) sin θdθdφ= (l + |m|)! (l − |m|)! 4π 2l + 1 δlkδmn. ▲Ü❚✕✛✌ûìä ✤➜ìä ❂➝ ó✕éê ✬✭✩➞✓✛➟ ✝ ë ❂➠➡➢ ë✛￾✁✌ û ìä➤ ➜➥➦✢ ➢➧➨● å✤❭ ❪➩ ù ✌ûìä✛ ➞✓➫ ❭é❣✢