2.证明:若R"中的点列{x}收敛,则其极限是唯一的 证假设x和y都是点列{xk}的极限,则vE>0 EN,, Vk>N: xr-xks, 于是当k>max{N1,N2}时,成立 I+xr-yk2a 由于E是任意正数,所以x=y,即极限是唯一的。 3.设R”中的点列{x}和{y}收敛,证明:对于任何实数a,B,成立 等式 lim(ax, By,)= a lim x, t B lim y 证设imxk=x, lim yk=y,则ⅤE>0, EN, Vk>N: xr-xka aN,, Vk>N,: Ly,-yke, 于是当k>max{N,N2}时,成立 (ax4+By)-(ax+By)a‖x-x+B‖y4-y<(a|+|BDE, 所以 lim(aa+ Byk=a lim x+ B lim yk 4.求下列R2中子集的内部、边界与闭包: (1)S=(x,y)|x>0,y≠0}; (2)S={(x,y)10<x2+y2≤l}; (3)S={x,y)|0<x≤1,y=sin=} 解(1)S“={x,y)>0.y≠0};as={x,y)x=0或x>0,y=0} (2)s={x)0x2+y2<l,as=(xy2+y2=0或x2+y2=1 (3)S=0,aS=(x, y)0<xsl, y=sin -pxx=0, -ls ysI (x,y)0<x≤1,y=sin或x=0,-1≤y≤12 2 1 1 n n i i i i a b = = ≤ ∑ + ∑ =| | x y − + | y − z |。 2. 证明：若 n R 中的点列{xk }收敛，则其极限是唯一的。 证 假设x和y都是点列{xk}的极限，则∀ε > 0， 1 1 , :| N k N k ∃ ∀ > x x − |< ε ， 2 2 , :| N k N k ∃ ∀ > x y − |< ε 。 于是当k > max{N1, N2}时，成立 | | | | | | 2 k k x y − < − x x + x − y < ε ， 由于ε 是任意正数，所以 x = y ，即极限是唯一的。 3. 设 n R 中的点列{xk }和{yk }收敛，证明：对于任何实数α, β ，成立 等式 lim( ) k k k αx + βy →∞ = α k k x →∞ lim + β k k y →∞ lim 。 证 设 x k→∞ lim k = x， y k→∞ lim k = y，则∀ε > 0， 1 1 , :| N k N k ∃ ∀ > x x − |< ε ， 2 2 , :| N k N k ∃ ∀ > y y − |< ε ， 于是当k > max{N1, N2}时，成立 | ( ) ( ) | | || | | || | α x +k k β α y − ≤ x + β y α x x k − + β y y k − < (|α | + | β |)ε ， 所以 lim( ) k k k αx + βy →∞ = α k k x →∞ lim + β k k y →∞ lim 。 4. 求下列 2 R 中子集的内部、边界与闭包： （1）S = {(x, y)| x > 0, y ≠ 0}； （2）S = {(x, y) | 0 < x 2 + y 2≤1}； （3）S = {(x, y) | 0 < x≤ } 1 1, sin x y = 。 解 (1) = { } (x, y) x > 0, y ≠ 0 D S ；∂ S = {(x, y) x = 0或x > 0, y = 0}; S = { } (x, y) x ≥ 0 。 (2) {( , ) 0 1} 2 2 = x y < x + y < D S ; ∂ S {( , ) 0 1} 2 2 2 2 = x y x + y = 或x + y = ; {( , ) 1} 2 2 S = x y x + y ≤ 。 (3) = ; D S ∅ ∂ S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ = = 0,−1 ≤ ≤ 1 1 ( , ) 0 1, sin x y x x y x y 或 ; S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ = = 0,−1 ≤ ≤ 1 1 ( , ) 0 1, sin x y x x y x y 或 。 2