6a4是一个比m知证明在区小pl 中存在B的一个特 征值 7设A∈R"是一个Hem矩阵,Q∈R有标准正交列,这时,称B=QAQ是A的 r-部分( r-section.证明:如果A的特征值为≤2≤…≤几nB的特征值为41s2s…≤p 那么,A,5,i=12,…,F.且H11≤Anm,i=2…,F 8设A,B都是n阶mte矩阵,且A是满足fB1的正定矩阵证明:A书是正 定矩阵。 9.设A1≥A2…≥,是 Hermite矩阵A的n个特征值,其相应的标准正交特征向量为 2…,用C,表示任意k维子空间.证明:x= min max x ax. x∈C-x≠0xx 10.设 Jacobi算法中第k次旋转平面为(p,q)平面.证明 1l1求 Householder矩阵I-2wn(ww=1的特征值和特征向量 12.设 y a2 B y, a B 是一个三对角矩阵,且a,B:y,为实数,By>0.证明:存在满秩对角矩阵D,使 DCD为对称三对角矩阵。(这里C称为 Jacobi矩阵,它的特征值全为实数 13.设C是次对角元B,(i=2,3,…,n)全不为零的实对称三对角矩阵,是C的一个特征 值,x=(x;x2…;xn)是其相应的特征向量证明6.设 T B a A α α ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 是一个 Hermite 矩阵. 证明：在区间{ }2 λ λ : a − ≤ α 中存在 B 的一个特 征值。 7.设 A∈ n n R × 是一个 Hermite 矩阵， n r Q R × ∈ 有标准正交列，这时，称 T B=Q AQ 是 A 的 r –部分（r-section）. 证明：如果A的特征值为λ1 2 λ λn ≤ ≤≤ " ，B的特征值为 µ 1 2 µ µ r ≤ ≤≤ " ，那么， i λ µ i ≤ ，i r =1,2, , " . 且 µ r i − +1 λ n i − +1 ≤ ，i r =1,2, , " 。 8.设 A，B 都是 n 阶 Hermite 矩阵，且 A 是满足 2 2 1 A B 1 − < 的正定矩阵. 证明：A+B 是正 定矩阵。 9.设λ1 2 λ λ n ≥ ≥≥ " 是 Hermite 矩阵 A 的 n 个特征值，其相应的标准正交特征向量为 1 2 , ,, uu u " n . 用Ck 表示任意 k 维子空间. 证明： 1 1 , 0 min max n k n k H k H C xC x x Ax x x λ − + = + == ∈ ≠ . 10.设 Jacobi 算法中第 k 次旋转平面为（p,q）平面. 证明 ( ) ( 1) ( 1) kk k aa a pp pp pq − − − ≤ ， ( ) ( 1) ( 1) kk k aa a qq qq pq − − − ≤ 11.求 Householder 矩阵 2 T I − ww ( 1) T w w = 的特征值和特征向量。 12.设 1 1 1 2 2 2 3 1 1 n n n C α β γ β α γ α β γ α − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ % % % 是一个三对角矩阵，且 , , i β i i α γ 为实数， 0 β i i γ > . 证明：存在满秩对角矩阵 D，使 1 D CD − 为对称三对角矩阵。（这里 C 称为 Jacobi 矩阵，它的特征值全为实数） 13.设 C 是次对角元 β i （i n = 2,3, , " ）全不为零的实对称三对角矩阵，λ 是 C 的一个特征 值， ( ) 1 2 ,,, T x x x xn = " 是其相应的特征向量. 证明：