=(90y)2+999+2y0 dy axa 因为 andy r129+9/c ax2 a22 ay ay2 Ox az axay az ay ax az af ay2 af ay ay, a f ay ay af ay ay axa ay ax a ay ax az ay axe 结合(4)式得 ayaya r af ay 2. af ay ayr af ay af oy ay. af ay ay ax az axoy az ay af a )2 ay oxa 2-2) l=f(x,y,,1) 例3设{8(,=,1)=0,问什么条件下是xy的函数啊?求anan h(=,D)=0 解当g,h对各变元有连续的偏导数,且2≠0时,方程组8(y,)=0 h(==0可确定函 数组 =(y),代入l=f(x,y,=,D)即得u是x,y的函数u=f(x,y,(y)1(y)。 =1(y) f(x,y,,t 对方程组{g(y=,1)=0求微分,得 h(=,D)=0 f dx+f dy+f d=+f, dt 8 dy+gd=+g, dt=0 hd=+hdt=0 记J=叫(8b) 若J≠0,由(2)(3)式 a(=,) gg-g,h中 J0 h3 ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f      +             +      = 因为 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z    =     ，则 ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y       +            −       ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f      +             +      = 结合（4）式得 2 2 2 2 2 ( ) y f z y x y       ( ) 2 [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y f z y x y y f x z y y f      +       +            +      = 2 2 ( ) x z y y f      = 即 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y    =     。 例 3 设      = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t ，问什么条件下 u 是 x, y 的函数啊？求 y u x u     , 。 解 当 g,h 对各变元有连续的偏导数，且 0 ( , ) ( , )    z t g h 时，方程组    = = ( , ) 0 ( , , ) 0 h z t g y z t 可确定函 数组    = = ( ) ( ) t t y z z y ，代入 u = f (x, y,z,t) 即得 u 是 x, y 的函数 u = f (x, y,z( y),t( y)) 。 对方程组      = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t 求微分，得      + = + + = = + + + 0 (3) 0 (2) (1) h dz h dt g dy g dz g dt du f dx f dy f dz f dt z t y z t x y z t 记 ( , ) ( , ) z t g h J   = ，若 J  0 ，由（2）（3）式 J g h dy h g dy g J dz y t t y t − = − = 0 1