B(h,n2,…,n)=(B,Bn2…,Bn)=(n,n2,…,7n)B 将(*)代入,则有B=T-AT。 定义称n阶矩阵A相似于B(记为A~B),若存在可逆矩阵T,使得B=TAT 命题相似是等价关系。 命题二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵。 证明充分性已证。必要性若A~B,则存在T∈GLn(K),使得B=TAT。定义 K上的n为线性空间V上的线性变换A如下:任取V的一组基E,…,En,定义 A(E1…En)=(E,…,En)A,再令(m,…n)=(E1,…,En)T,由命题可知,n12…,刀n是 V的一组基,代入整理,得到A(71,…7n)=(71,…7n)T-AT。证毕1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) B B B B          n n n = = B。 将（*）代入，则有 1 B T AT − = 。 定义 称 n 阶矩阵 A 相似于 B （记为 A B ），若存在可逆矩阵 T ，使得 1 B T AT − = 。 命题 相似是等价关系。 命题 二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵。 证明 充分性已证。必要性 若 A B ，则存在 ( ) T GL K  n ，使得 1 B T AT − = 。定义 K 上的 n 为线性空 间 V 上的线性变换 A 如下：任取 V 的一组基 1 , , n   ，定义 1 1 ( , , ) ( , , ) A     n n = A ，再令 1 1 ( , , ) ( , , )     n n = T ，由命题 可知，   n , , 1  是 V 的一组基，代入整理，得到 1 1 1 ( , , ) ( , , )     n n T AT − A = 。证毕