第18卷第5期 Vol.18 No.5 2006年5月 林静，等：基于MCMC稳态模拟的Weibull回归模型及其可靠性应用 May.2006 发生失效的时间视为有效数据，尚未失效的产品寿命是被随 信区间为(0.6911,0.7901)，B。的均值为-1.358,95%置 机截尾的，记为NA:只知道其寿命值不低于对其观测的时 信区间为(-1.621，-1.087)，B,的均值为-0.2635,95%置 间L,记为tcen[:伴随变量环境x的指示变量用trt[来 信区间为(-0.5823,0.04934)等。 表示，即当tt=0时表示产品样本暴露于环境1中，当tt=1 表2 WinBUGS中3000次抽样迭代的参数后验估计统计量 时表示暴露于环境2中（见表1）。因而，根据公式(2)得到 参数 均值 标准差 2.5% 中位数 97.5% B=(B。,B)',其中B。为截距，B为环境变量x,的系数： alpha 0.7925 0.05413 0.6911 0.7901 0.9063 设a与B得先验分布分别为：B~N,0,10), beta0 -1.358 0.1373 -1.621 -1.357 -1.087 a~S(L,0.00),即得一元Weibull回归模型。 betal -0.2635 0.1634 -0.5823 -0.2606 0.04934 表】随机截尾试验中产品寿命的仿真数据 alpha 样本i失效时间t0h裁尾时间tcen0h伴随指示变量t0 8.0 1 1.5 0.0 1 6.0 2 1.4 0.0 1 0 S55 3..... NA 7.3 ....… 0.8 D.7 0.8 beta0 254 0.9 0.0 0 4.0 255 NA 9.0 3.0 20 3.2基于BUGS的建模分析 2.0 -15 -10 BUGS是英国剑桥公共卫生研究所推出的利用MCMC方法 beta1 进行贝叶斯推断的专用软件包，使用BUGS可以很方便地 3.0 对许多常用的模型和分布进行Gibbs抽样，编程者只要设置 2.0 1.D 好变量的先验分布并对所研究的模型进行一般性的描述，就 00 能很容易实现对模型的贝叶斯分析。在BUGS中可以使用 10 -05 00 有向图模型方式(Directed Acyclic Graphical model,DAG)对 图2 WinBUGS中30O0次抽样迭代后参数的后验核密度估计 模型进行直观的描述（图1），也可以直接编写模型程序。 Gibbs抽样收敛后，可以得到参数后验分布的均值、标准差、 4结论 95%置信区间和中位数等信息（表2），并给出后验分布的核 Weibull回归模型在加速失效模型族中的应用十分广 密度估计图（图2）、参数的Gibbs抽样动态图、抽样值自相 泛，贝叶斯方法的应用，提高了该模型的有效性。以往的研 关图及均值和置信区间的变化图等，使抽样结果更直观、可 究由于不能很好的解决高维数值积分问题，从而制约了该理 靠：为了检验模型的收敛性，在BUGS中可以对有关参数 论在实际中的应用。本文利用基于Gibbs抽样的MCMC模 进行多条链的迭代分析，即同时输入多组初始值，经过 拟方法与BUGS软件的应用解决了该模型中高维数值计算 MCMC模拟形成多条迭代链，假如参数模型收敛（即符合 的不便，提高了计算的精度，有利于该模型在可靠性分析理 MCMC方法稳定条件时)则迭代图形的结果趋于重合。篇幅 论中的推广。本文仿真实例中的一元Weibull回归模型可以 所限，文中仅列出其中一部分。这里基于表1仿真数据，建 推广到多元的情况中去，不难看出，该模型在可靠性分析领 立如上的一元Weibull回归模型，截取前1000次迭代结果， 域中的应用前景比单纯Weibull模型更为广泛。需要指出， 从第1001次开始进行3000次迭代分析。 在仿真分析中，我们给定的先验分布的参数形式也具有普遍 由BUGS运行结果可以得到a的均值为0.7925,95%置 性，实际中应具体情况具体分析。 参考文献： [1]Lindley D V,Smith A F M.Bayes estimation for the linear model [J]. Journal of the Royal Statistical Society Series B(1369-7412),1972 34:1-41. [2]韩明.多层先验分布的构造及其应用[U运筹与管理，1997,6(3) 31-40. [3)乔世君，张世英.用Gibbs抽样算法计算定数截尾时Weibull分布 的贝叶斯估计[).数理统计与管理，2000,192)：35-40. for(IN1:N) [4)汤银才，费鹤良.基于Gibbs抽样的Weibull分布序进应力加速寿 命试验的Bayes分析.数理统计与应用概率，1998,13(1)：81-88 图1 WinBUGS中的贝叶斯有向无环图 ·1163· (下转第1185页) 万方数据第18卷第5期 Vol. 18 No. 5 2006 年 5 月 林 静, 等 基于 MCMC 稳态模拟的 Weibull 回归模型及其可靠性应用 May, 2006 • 1163 • 发生失效的时间视为有效数据 尚未失效的产品寿命是被随 机截尾的 记为 NA 只知道其寿命值不低于对其观测的时 间 Li 记为 t.cen[i] 伴随变量环境 x 的指示变量用 trt[i]来 表示 即当 trt=0 时表示产品样本暴露于环境 1 中 当 trt=1 时表示暴露于环境 2 中(见表 1) 因而 根据公式(2)得到 T ( , ) = bbb 10 其中 b0 为截距 b1 为环境变量 i x 的系数 设 a 与 b 得先验分布分别为 ~ (0,10 ) 4 2 b N I a ~ z (1,0.001) 即得一元 Weibull 回归模型 表 1 随机截尾试验中产品寿命的仿真数据 样本i 失效时间t[i]/h 截尾时间t.cen[i]/h 伴随指示变量trt[i] 1 2 3 M M 254 255 1.5 1.4 NA M M 0.9 NA 0.0 0.0 7.3 M M 0.0 9.0 1 1 0 M M 0 1 3.2 基于 BUGS 的建模分析 BUGS 是英国剑桥公共卫生研究所推出的利用 MCMC 方法 进行贝叶斯推断的专用软件包 使用 BUGS 可以很方便地 对许多常用的模型和分布进行 Gibbs 抽样 编程者只要设置 好变量的先验分布并对所研究的模型进行一般性的描述 就 能很容易实现对模型的贝叶斯分析 在 BUGS 中可以使用 有向图模型方式(Directed Acyclic Graphical model, DAG )对 模型进行直观的描述 图 1 也可以直接编写模型程序 Gibbs 抽样收敛后 可以得到参数后验分布的均值 标准差 95%置信区间和中位数等信息 表 2 并给出后验分布的核 密度估计图 图 2 参数的 Gibbs 抽样动态图 抽样值自相 关图及均值和置信区间的变化图等 使抽样结果更直观 可 靠 为了检验模型的收敛性 在 BUGS 中可以对有关参数 进行多条链的迭代分析 即同时输入多组初始值 经过 MCMC 模拟形成多条迭代链 假如参数模型收敛(即符合 MCMC 方法稳定条件时)则迭代图形的结果趋于重合 篇幅 所限 文中仅列出其中一部分 这里基于表 1 仿真数据 建 立如上的一元 Weibull 回归模型 截取前 1000 次迭代结果 从第 1001 次开始进行 3000 次迭代分析 由 BUGS 运行结果可以得到a 的均值为 0.7925 95%置 图 1 WinBUGS 中的贝叶斯有向无环图 信区间为 0.6911 0.7901 b0 的均值为-1.358 95%置 信区间为 -1.621 -1.087 b1 的均值为-0.2635 95%置 信区间为 -0.5823 0.04934 等 表 2 WinBUGS 中 3000 次抽样迭代的参数后验估计统计量 参数 均值 标准差 2.5% 中位数 97.5% alpha beta0 beta1 0.7925 -1.358 -0.2635 0.05413 0.1373 0.1634 0.6911 -1.621 -0.5823 0.7901 -1.357 -0.2606 0.9063 -1.087 0.04934 图 2 WinBUGS 中 3000 次抽样迭代后参数的后验核密度估计 4 结论 Weibull 回归模型在加速失效模型族中的应用十分广 泛 贝叶斯方法的应用 提高了该模型的有效性 以往的研 究由于不能很好的解决高维数值积分问题 从而制约了该理 论在实际中的应用 本文利用基于 Gibbs 抽样的 MCMC 模 拟方法与 BUGS 软件的应用解决了该模型中高维数值计算 的不便 提高了计算的精度 有利于该模型在可靠性分析理 论中的推广 本文仿真实例中的一元 Weibull 回归模型可以 推广到多元的情况中去 不难看出 该模型在可靠性分析领 域中的应用前景比单纯 Weibull 模型更为广泛 需要指出 在仿真分析中 我们给定的先验分布的参数形式也具有普遍 性 实际中应具体情况具体分析 参考文献: [1] Lindley D V, Smith A F M. Bayes estimation for the linear model [J]. Journal of the Royal Statistical Society Series B(1369-7412), 1972, 34: 1-41. [2] 韩明.多层先验分布的构造及其应用[J].运筹与管理, 1997, 6(3): 31-40. [3] 乔世君, 张世英. 用 Gibbs 抽样算法计算定数截尾时 Weibull 分布 的贝叶斯估计[J]. 数理统计与管理, 2000, 19(2): 35-40. [4] 汤银才 费鹤良. 基于 Gibbs 抽样的 Weibull 分布序进应力加速寿 命试验的 Bayes 分析[J]. 数理统计与应用概率, 1998, 13(1):81-88. 下转第 1185 页 万方数据