设 f(u,x2,, xn)=XAX, A=A 是一个二次型,作非退化线性替换 X=CY 得到一个y,y2,…,y的二次型 YBY 二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵A与B的关系 把(8)代入(7),有 ∫(x1,x2…x)=XAX=(CY)A(CY)= CACY Y(CAC)Y=YBr 易看出,矩阵CAC也是对称的,由此即得 B=CAC 这是前后两个二次型的矩阵的关系 定义2数域P上两个n阶矩阵A,B称为合同的,如果有数域P上可逆的 n×n矩阵C,使得 B=CAC 合同是矩阵之间的一个关系,具有以下性质 1)自反性任意矩阵A都与自身合同 2)对称性如果B与A合同,那么A与B合同 3)传递性:如果B与A合同,C与B合同,那么C与A合同 因此,经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。 这样把二次型的变换通过矩阵表示出来,为以下的讨论提供了有力的工具。 最后指出,在变换二次型时,总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何 上看,这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地,当线性替换 X=Cy 是非退化时,由上面的关系即得 Y=C设 f (x , x , , xn ) = XAX, A = A 1 2  (7) 是一个二次型，作非退化线性替换 X = CY (8) 得到一个 n y , y , , y 1 2  的二次型 Y BY ， 二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵 A 与 B 的关系. 把（8）代入（7），有 ( ) . ( , , , ) ( ) ( ) 1 2 Y C AC Y Y BY f x x xn X AX CY A CY Y C ACY =   =   =  =  =   易看出，矩阵 CAC 也是对称的，由此即得 B =CAC . 这是前后两个二次型的矩阵的关系。 定义 2 数域 P 上两个 n 阶矩阵 A ， B 称为合同的，如果有数域 P 上可逆的 nn 矩阵 C ,使得 B =CAC . 合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质: 1) 自反性:任意矩阵 A 都与自身合同. 2) 对称性:如果 B 与 A 合同,那么 A 与 B 合同. 3) 传递性:如果 B 与 A 合同,C 与 B 合同,那么 C 与 A 合同. 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。 这样把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。 最后指出，在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何 上看，这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线性替换 X = CY 是非退化时，由上面的关系即得 Y C X −1 =