另外若F=0有一个或几个实根时,则除了上面的直线族外,又得到含有一个参数c的 直线族x=k+c,它包含于上面含有两个参数的直线族x=c1t+c2中,于是,在 F=F(x)情况下,极值曲线必然是直线族 (iv)F只依赖于x和x,即F=F(x,x) 这时有F=0,故欧拉方程为 F-xF.-xF.=0 此方程具有首次积分为 F-xF.=CI 事实上,注意到F不依赖于t,于是有 XF=Fx+F x-xI F=X(Fr-F) dt 例1(最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是 约翰·贝努里(J. Bernoulli)于1696年提出的。问题的提法是这样的:设A和B是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结A和B的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从A滑行至B时,使所需时间最短。 解将A点取为坐标原点,x轴水平向右,y轴垂直向下,B点为B(x2y2)。根 据能量守恒定律,质点在曲线y(x)上任一点处的速度,满足(s为弧长) Ids 将d=√l+y2(x)d代入上式得 于是质点滑行时间应表为y(x)的泛函 J(y(x))= dx 2 端点条件为 (0)=0,y(x2)=y2 最速降线满足欧拉方程,因为 FO,y)= y 不含自变量x,所以方程(10)可写作 F.-Fy-Frvy=0 等价于 (F-yF)=0 作一次积分得-221- 另外若 Fx&x& = 0有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c 的 直线族 x = kt + c ，它包含于上面含有两个参数的直线族 1 2 x = c t + c 中，于是，在 F = F(x&) 情况下，极值曲线必然是直线族。 （iv） F 只依赖于 x 和 x& ，即 F = F(x, x&) 这时有 Ftx& = 0 ，故欧拉方程为 Fx − x&Fxx& − & x&Fx&x& = 0 此方程具有首次积分为 1 F xF c − & x& = 事实上，注意到 F 不依赖于t ，于是有 ( − x ) = x + x − x − x = ( x − Fx ) = 0 dt d F x F dt d F xF F x F x xF x dt d & & & & & & & && && & & 。 例 1 (最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是 约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。 解 将 A 点取为坐标原点，x 轴水平向右， y 轴垂直向下，B 点为 ( , ) 2 2 B x y 。根 据能量守恒定律，质点在曲线 y(x) 上任一点处的速度 dt ds 满足（ s 为弧长） mgy dt ds m ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 1 将ds 1 y' (x) dx 2 = + 代入上式得 dx gy y dt 2 1 ' 2 + = 于是质点滑行时间应表为 y(x) 的泛函 dx gy y J y x x ∫ + = 2 0 2 2 1 ' ( ( )) 端点条件为 2 2 y(0) = 0, y(x ) = y 最速降线满足欧拉方程，因为 y y F y y 2 1 ' ( , ') + = 不含自变量 x ，所以方程（10）可写作 Fy − Fyy' y'−Fy' y' y' '= 0 等价于 (F − y' Fy' ) = 0 dx d 作一次积分得