第二章极限与连续 第一节极限的定义 思考题: 1.在mf(x)的定义中,为何只要求f(x)在x0的空心邻域N(x0,8)内有定义? 答:因为x→>x表示x无限接近x。而不等于x,故mf(x)与f(x)在x0点有无定 义无关 him snr 是否存在,为什么? 答:存在且为0. 因为ln1=0,且卜mx1,由无穷小的性质知l5x=0 习作题: 1.设f()≈x2+1,x<0, 画出f(x)的图形,求imf(x)及lmf(x)并问 imf(x)是否存在 解:f(x)的图像如下: lim f(x)=lim(x+1)=1, x→0 Im f(x)=lim x=0 imf(x)≠limf(x) limf(x)不存在 2.函数f(x) x+1 在什么条件下是无穷大量,什么条件下是无穷小量?为什么? 答:f(x)当x→1时是无穷大量,当x→>-1时是无穷小量 ∴lm 3举例说明imf(x)=A,imf(x)=A,lmf(x)=A的几何意义 解:例如:对y=-,lm-=0表示当x沿x轴的正向远离原点时,曲线y=一无限 xx→+x 靠近直线y=0,im-=0表示当x沿x轴的负方向远离原点时,曲线y=一无限靠近直线第二章 极限与连续 第一节 极限的定义 思考题： 1. 在 lim ( ) 0 f x x→x 的定义中，为何只要求 f (x) 在 0 x 的空心邻域 (ˆ , ) N x0  内有定义？ 答：因为 0 x → x 表示 x 无限接近 0 x 而不等于 0 x ，故 lim ( ) 0 f x x→x 与 f (x) 在 0 x 点有无定 义无关. 2. x x x sin lim →+ 是否存在，为什么？ 答：存在且为 0. 因为 0 1 lim = x→+ x ，且 sin x 1 ，由无穷小的性质知 0 sin lim = →+ x x x . 习作题： 1. 设     +  = , 0 , 1, 0 , ( ) 2 x x x x f x 画出 f (x) 的图形，求 lim ( ) 0 f x x→ − 及 lim ( ) 0 f x x→ + 并问 lim ( ) 0 f x x→ 是否存在. 解： f (x) 的图像如下： lim ( ) 0 f x x→ − = lim ( 1) 2 0 + → − x x =1, lim ( ) 0 f x x→ + = x x→ + 0 lim =0,  lim ( ) 0 f x x→ −  lim ( ) 0 f x x→ + .  lim ( ) 0 f x x→ 不存在. 2. 函数 1 1 ( ) − + = x x f x 在什么条件下是无穷大量，什么条件下是无穷小量？为什么？ 答： f (x) 当 x →1 时是无穷大量, 当 x → −1 时是无穷小量. 0 1 1 lim 1 = − + →− x x x  , =  − + → 1 1 lim 1 x x x . 3.举例说明 f x A f x A f x A x x x = = = →+ →− → lim ( ) , lim ( ) ,lim ( ) 的几何意义. 解：例如：对 x y 1 = , 0 1 lim = x→+ x 表示当 x 沿 x 轴的正向远离原点时, 曲线 x y 1 = 无限 靠近直线 y =0; 0 1 lim = x→− x 表示当 x 沿 x 轴的负方向远离原点时, 曲线 x y 1 = 无限靠近直线 O x y 1