习题五解答 1、下列函数有些什么奇点?如果是极点,指出它的级。 (1) (2) sln二 (3) (4) 1+z2)(1+e 解(1)f(2)=-1 是有理函数,故奇点只是极点,满足二(2+1)=0,故z=0,与z=±i为 其奇点,z=0为一级极点,而z=±i为其二级极点。 (2)因lims=∞则:=0为其极点。再确定极点的级,有两种方法: az=0为sinz为的一级零点;而:=0为2的三级零点。故:=0为当三的二级极点。 b.lin,s= lim sir3=1≠0,故:=0为其二级极点 (3)原式12-=-D(=-)(+ 故z=1为其二级极点,而z=-1为一级极点 57,04、分(无负幂项,故:=0为其可去奇点 (4)a.ln(+)=∑+y (+)=1,故二=0为可去奇点 5)由1+2=0得:=+为+)的一级零点,由1+=0得=(2k+)(k=012-)为+e) 的零点,又(1+e“)1=e=0,所以为(+)的一级零点,因此,:=i为二级极点 k=(2k+1)i,(k=1,±2,…)为一级极点 (6)由e 知z=1为本性奇点。 n(二-1) 个如Qm?31),故:=0为(2-1)的三级零点,因而是?2-1) (7)因e-1= 的三级极点,而z=2ki,(k=±1,±2,…)均为一级极点。 2k+ (8)由=”+1=0,=”=-1,得:4=e”(k=01…n-1)为原式一级极点。 (9)sinz2=0→z=±√k丌,=±i√k丌,k=0,1,2,…由习题五解答 1、下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。 （1） ( )2 2 1 z z +1 ； （2） 3 sin z z ； （3） 1 1 3 2 z − z − z + ； （4） ( ) z ln z +1 ； （5） ( )( ) 2 1 1 z z z eπ + + ； （6） 1 1 z e − ； （7） 2 1 ( 1 z z e − ) ； （8） n n z z 1+ 2 ； （9） 2 1 sin z . 解（1） ( ) ( )2 2 1 1 f z z z = + 是有理函数，故奇点只是极点，满足 ( ) 2 2 z z +1 =0，故 z = 0 ，与 z = ± i 为 其奇点， z = 0 为一级极点，而 z = ± i 为其二级极点。 （2）因 3 0 sin limz z → z = ∞ 则 z = 0 为其极点。再确定极点的级，有两种方法： a. z = 0 为sin z 为的一级零点；而 z = 0 为 的三级零点。故 3 z z = 0 为 3 sin z z 的二级极点。 b. 2 3 0 0 sin sin lim lim 1 0 z z z z z → → z z = = ≠ ，故 z = 0 为其二级极点， （3）原式= ( ) 1 ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 2 2 − + = z − z − z z ，故 z = 1为其二级极点，而 z = −1为一级极点。 （4）a． ( ) ∑( ) ∞ = + + + = − 0 1 1 ln 1 1 n n n n z z ，0 <| z |<1， ( ) ∑( ) ∞ = + = − + 0 1 1 ln 1 n n n n z z z 无负幂项，故 z = 0 为其可去奇点。 b． ( ) ( ) 1 1 1 lim ln 1 lim0 0 = + = + → z → z z z z ，故 z = 0 为可去奇点。 （5）由1+ z 2 = 0得 z = ± i 为( 的一级零点，由1 0 2 1+ z ) z e π + = 得 (2 1)i k z k = + ( ) k = 0,±1,±2," 为( )z 1+ e 的零点，又 ( ) 1 k k z z z e e π π + ′ = π = −π ≠ 0 ，所以 zk 为 ( )z 1+ e 的一级零点，因此， z = ± i 为二级极点； zk = ( ) 2k +1 i ，(k = ± 1, 2,") 为一级极点。 （6）由 1 1 0 ( 1) !( 1) n z n n e n z ∞ − = − = − ∑ ，知 z = 1为本性奇点。 （7）因 2 0 1 (1 ) ( 1)! 2 3! n z n z z z z n ∞ = − = = + + + + e z∑ " ，故 z = 0为 2 ( 1 z z e − ) 的三级零点，因而是 2 1 ( 1 z z e − ) 的三级极点，而 z k = = 2 i π ,(k ±1,±2,")均为一级极点。 （8）由 z n +1 = 0， = −1 n z ，得 ( ) n k k z e 2 1 π i + = (k = 0,1,"n −1)为原式一级极点。 （9） 2 sin z z = 0 ⇒ = ± kπ ,z = ±i kπ ， k = 0,1,2,"由 - 1 -