其中0≤p≤r 现在证规范型的唯一性。规范型中的r等于f的秩,是唯一确定的,我们只需证明正平 方项的个数p也是唯一确定的就可以了。 设f有两个规范型 十∴+l-l 按命题2.2的推论,这表明在R上n维线性空间V内存在一组基n,n2…,7n,使 a=171 n时 Q/(a)=2+ 在V内又存在一组基可1,可2…,mn,使当a=v1+…+vnan时, 现令ML(n1,…,7n),则当a∈M,a≠0时 a=L11+…+lnn(l1不全为零)。 于是Q,(a)=1+…+2>0。又令N=L(可q+1…可n)。则当a∈N时,有 C=v1团+…+V团 于是Qa)=-v2-…-v2≤0。这表明M∩N=。按维数公式,我们有 n=dim v>dm(M+N=dim M+dim N=p+(n-q 这表明p-q≤0,即p≤q。由于p,q地位对称,同理应有q≤p,于是p=q。2 2 1 2 2 u1 ++ up − up+ −− ur 其中 0  p  r . 现在证规范型的唯一性。规范型中的 r 等于 f 的秩，是唯一确定的，我们只需证明正平 方项的个数 p 也是唯一确定的就可以了。 设 f 有两个规范型 2 2 1 2 2 u1 ++ up − up+ −− ur 2 2 1 2 2 1 q q r v + + v − v − − v  +  按命题 2.2 的推论，这表明在 R 上 n 维线性空间 V 内存在一组基 1，2，，n ，使 当  = u11 ++ unn 时 Qf () = 2 2 1 2 2 u1 ++ up − up+ −− ur 在 V 内又存在一组基 1， 2，， n ，使当 n n  = v1 1 ++ v  时， Qf () = 2 2 1 2 2 1 q q r v + + v − v − − v  +  现令 M=L( 1，， p )，则当   M ,  0 时，  = u11 ++ u p p ( i u 不全为零)。 于是 Qf () = 0 2 2 u1 ++ up  。又令 N＝L（  q  n , , +1  ）。则当  N 时，有 q q n n  = v +1 +1 ++ v  于是 Qf () = 0 2 2 − vq+1 −− vr  。这表明 M  N = 0 。按维数公式，我们有 n = dimV  dim( M + N) = dim M + dim N = p + (n − q) 这表明 p − q  0 ，即 p  q 。由于 p，q 地位对称，同理应有 q  p ，于是 p＝q