102 系统工程理论与实践 2008年1月 密度为： [q(x.r)a(x,y), Vy≠常 p(x,y)= 1-9(,y)a(x,yay,y=￥ (2) 下面的定理说明M-H算法构造的Markov链以目标分布π(x)为不变分布，并且是时间可逆的. 定理1若以P为条件转移密度的马尔科夫链具有可逆初分布π，那么π也一定是其不变分布， 证明 Pr(X...=y)=x(=)P(x.y)dx =(y)P(y.x)dz =x(y)P(y,x)dx=x(y） y的边缘分布即为π，这就证明了这个定理. 有了这个定理，我们下面所要做的就是验证M-H算法构造的Markov链满足细致平衡条件， 定理2设P(x,y)是由(2)式定义的条件转移密度.则在状态空间S上，对于任意的初始分布，以 P为条件转移密度的Markov链满足细致平衡条件（时间可逆的），即 x(x)P(x,y)=π(y)P(y,x),x,y∈S 证明如果y=,那么自然π(x)P(x,x)与其自身相等，对于y≠x的情况， (1)若 π(y）q(y,x) (9￥，y≤1 则 ）=名82 并且a(y,x)=1 从而有 x到P(,=g(）=xg,2号 =x(y)q(y,a)=(y)g(y,)a(y,x)=(y)p(y,x) (i)若 π(y)q(y,x) x()9￥，≥1 则 -8 ，并且a(x,y）=1 从而有 (y）P(y,)=x(yg(y,)a(,)=x()g(y,)g2 π（y)g(y,x) =π(x)q(,y）=r(x)q(x,y)a(x,y)=r(x)P(x,y） 不论哪种情况，均有π(x)P(x,y)=π(y)P(y,x),证毕. 3两种Metropolis--Hastings算法比较 R软件是一种基于S语言而开发的用于数据处理，数值计算以及图象显示的免费软件.虽然R软件不 仅仅用于统计计算，但多数人将其当作一种统计软件来使用，原因是R软件的工作环境中集成了很多经 典或现代的统计计算方法.其中一部分包含在基本工作环境中，更多的是以数据包的形式提供给使用者， 数据包是R软件集成环境的体现，任何使用者都可以编写数据包，供自己或他人使用.R软件的基本工作 环境自带约25个标准数据包，更多其他的数据包可以从任一CRAN(Comprehensive R Archive Network)站点 及其镜象站点获得. 万方数据102 系统工程理论与实践 2008年1月 密度为： ’ 。 fq(茹，Y)a(石，Y)， V，，≠茗 P‘茗，，，’2 il—f口(菇，，，)口(菇，y)d，，， ，，：茗 ‘2’ 下面的定理说明M．H算法构造的MaIkov链以目标分布丌(茹)为不变分布，并且是时间可逆的． 定理1若以P为条件转移密度的马尔科夫链具有可逆初分布丌，那么，r也一定是其不变分布． 证明 Pr(Xm+l=Y)=I，r(茗)p(x，y)dx=I，r(，，)P(Y，x)dx ． 一 J =，r(，，)J．P(y，茹)d髫=，r(，，) y的边缘分布即为7f，这就证明了这个定理． 有了这个定理，我们下面所要做的就是验证M—H算法构造的Markov链满足细致平衡条件． 定理2‘设P(茗，，，)是由(2)式定义的条件转移密度．则在状态空间S上，对于任意的初始分布，r，以 P为条件转移密度的Markov链满足细致平衡条件(时间可逆的)，即 ，r(茗)P(茹，Y)=，r(，，)P(Y，茗)，V茹，y∈S 证明 如果Y=茹，那么自然，r(髫)P(髫，膏)与其自身相等．对于y≠菇的情况， (i)若 毫语q舞Y引 ， ，’ ，r(茗)(菇，)每1 则 出∽=老毁乌并且山㈠～ 从而有 · ，r(髫)尸(茁，)，)=丌(菇)口(菇，，，)口(露，，，)=，r(菇)口(茗，，，)罢{渊 =，r(，，)q(Y，茹)=，r(y)q(，，，髫)口(Y，戈)=7f(，，)P(y，髫) (ii)若 ．老{捌q≥t ，f(菇)(髫，，，)乎1 则 山，菇)=老燎高并且出∽～ 从而有 丌(，，)尸(，，，戈)=丌(y)g(，，，菇)口(，，，茹)=丌(，，)g(，，，茹)罢渊 =，r(菇)q(x，，Y)=，r(茗)q(x，，，)a(茁，Y)=7f(聋)P(x，Y) 不论哪种情况，均有，r(菇)P(菇，’，)=丌(Y)P(Y，髫)，证毕． 3 两种Metropolis．Hastings算法比较 R软件是一种基于S语言而开发的用于数据处理，数值计算以及图象显示的免费软件．虽然R软件不 仅仅用于统计计算，但多数人将其当作一种统计软件来使用，原因是R软件的工作环境中集成了很多经 典或现代的统计计算方法．其中一部分包含在基本工作环境中，更多的是以数据包的形式提供给使用者． 数据包是R软件集成环境的体现，任何使用者都可以编写数据包，供自己或他人使用．R软件的基本工作 环境自带约25个标准数据包，更多其他的数据包可以从任一CRAN(Comprehensive R Archive Network)站点 及其镜象站点获得． 万方数据