这是因为,只要使(2)成立的母函数F存在,就可以求出待定的H=H+06,使(2) 【例9】Q=√2 ge cos,P=√2qge'smp,是不是正则变换? 先考虑在t不变的情况下,pd-P能不能表为某个母函数F(qQ,l)的恰当微分F P6q-PQ=p5q-√2 ge sin p √2 2ge sin p6p (p-sin pcos p)aq+ 2q sin pop 8(pq-qsin pcos p) F的宗量应为qQ,t,将p化为p(q1Q,1) F=pq-qsin pcos=F(q, 0,t=qarccos -Q由F求出: aF, O P aF =Oe-272ge2-0=H-H 在以上计算中可利用以下各式:QP=2 gsin p cos p,P2e+Q2e2=2q COS P= sin p Q tanTo qe sin p Q-e q cos p 2 cos2 2)若变换(1)不显含1,则条件(2)可以简化为 ∑[pdn-pdg]=dF 即在变换(1)不显含1,且条件(2)成立的情况下,总可选F=F(q1Q)(不显含1)从 而H=H。 aF. aF 3)由正则变换充分条件(2)可以得到 P o 2 P H-H由前两 式可解得变换(1)式(至于这样得到的(1)式是正则变换的证明已经包含在判定定理的证7 这是因为，只要使 (2) 成立的母函数 F1 存在，就可以求出待定的 * F1 H H t  = +  ，使 （2） 成立。 【例 9】 Q qe p P qe p t t 2 cos , 2 sin − = = ，是不是正则变换？ 先考虑在 t 不变的情况下， pdq PdQ − 能不能表为某个母函数 F q Q t 1 ( , , ) 的恰当微分 1 dF ( ) ( ) 2 1 2 sin cos 2 sin 2 sin cos 2 sin sin cos t t t p q P Q p q qe p e p q qe p p q p p p q q p p pq q p p         −   − = − −       = − + = − F1 的宗量应为 q Q t , , ，将 p 化为 p q Q t ( , , )： F pq q p p F q Q t 1 1 = − = sin cos , , ( ) 2 2 2 arccos 2 2 2 t t t Q Q q e qe Q qe − = − − 由 F1 求出： 1 arccos 2 t F Q p q qe  = =  , 1 2 2 2 2 F t t e qe Q P Q  − = − − = −  1 2 2 2 * 2 F t t Qe qe Q H H t  − = − = −  (在以上计算中可利用以下各式： QP q p p = 2 sin cos ， 2 2 2 2 2 t t P e Q e q − + = 2 2 2 2 cos 2 t t t t Q Qe p e q P e Q e − − − = = + ， 2 2 2 2 sin t t t Pe p P e Q e− = + 2 2 sin tan 2 cos t t t P Pe qe p p e Q Q q p = = = ， 2 2 2 2 2 2 2cos 2sin t t Q e P e q p p − = = ） 2） 若变换（1）不显含 t ，则条件（2）可以简化为   1 1 s p dq P dQ dF     =  − = 即在变换（1）不显含 t ,且条件（2）成立的情况下，总可选 F F q Q 1 1 = ( , ) （不显含 t ）从 而 H H  = 。 3）由正则变换充分条件（2）可以得到 F1 p q    =  , F1 P Q    = −  和 F1 * H H t  = −  由前两 式可解得变换（1）式（至于这样得到的（1）式是正则变换的证明已经包含在判定定理的证