第二学期第六次课 第六章§3对称变换 设A是n维欧氏空间V内的一个线性变换,如果对va,B∈V,都有 (Aa, b)=(a,AB) 则称A是V内的对称变换 命题n维欧氏空间V上的线性变换A是对称变换当且仅当它在标准正交基 E,E2,,En下的矩阵A是实对称矩阵 证明设a=(E,E2…,En)X,B=(E,E2,,En)Y,则 (Aa, B)=XAY,(a, AB)=XAY 由(Aa,B)=(a,AB)可得A=A 命题实对称矩阵A的特征根都是实数 证明设A是A的特征多项式在C内的根.则存在n维非零复向量X,使AX=2X.于是 XA=AX",从而ⅩAX=AXX;另一方面,XAX=AXX.得到λ=λ 命题n维欧氏空间V上的对称变换A的属于不同特征值入,A2的特征向量51,52必正 证明A51=15,A52=1252,于是 A(51,52)=(A51,52)=(5,A52)=A2(51,2 由于1≠2,故(5152)=0 命题n维欧氏空间上V的对称变换A的不变子空间M的正交补M仍是不变子空间 证明ya∈M,B∈M,因Aa∈M,有 0=(Aa,B)=(a,AB) 这表明AB∈M,故M是不变子空间 定理设n维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形 证明对维数n做数学归纳法 推论设A是n阶实对称矩阵,则存在n阶正交矩阵T,使得T47(=T47)为对角 阵 证明把A看作V上对称变换A在一组标准正交基下的矩阵,由上述定理,A在另一组标第二学期第六次课 第六章 §3 对称变换 设 A 是 n 维欧氏空间 V 内的一个线性变换，如果对  ,   V，都有 （A  ,  ）=(  , A  ) 则称 A 是 V 内的对称变换. 命题 n 维欧氏空间 V 上的线性变换 A 是对称变换当且仅当它在标准正交基 1 2 n  ， ，， 下的矩阵 A 是实对称矩阵. 证明 设  =( 1 2 n  ， ，， )X,  =( 1 2 n  ， ，， )Y,则 （A  ,  ）= XAY ,(  , A  )= XAY 由（A  ,  ）=(  , A  )可得 A = A . 命题 实对称矩阵 A 的特征根都是实数. 证明 设  是 A 的特征多项式在 C 内的根.则存在 n 维非零复向量 X,使 AX=  X.于是 XA = X ,从而 XAX = XX ;另一方面, XAX = XX.得到  =  . 命题 n 维欧氏空间 V 上的对称变换 A 的属于不同特征值 1 2  , 的特征向量 1 2  , 必正 交. 证明 A 1  =1 1  ,A  2 =  2  2 ,于是 1 ( 1 2  , )=(A 1  , 2 )=( 1  ,A  2 )=  2 ( 1 2  , ) 由于 1   2 ,故( 1 2  , )=0. 命题 n 维欧氏空间上 V 的对称变换 A 的不变子空间 M 的正交补 ⊥ M 仍是不变子空间. 证明    M,   ⊥ M ,因 A   M,有 0=（A  ,  ）=(  , A  ), 这表明 A   ⊥ M ,故 ⊥ M 是不变子空间. 定理 设 n 维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形. 证明 对维数 n 做数学归纳法. 推论 设 A 是 n 阶实对称矩阵，则存在 n 阶正交矩阵 T ，使得 ( ) 1 T AT = TAT − 为对角 阵. 证明 把 A 看作 V 上对称变换 A 在一组标准正交基下的矩阵,由上述定理, A 在另一组标