初等数学方法建模 第二章初等数学方法建模 现实世界中有很多问题,它的机理较简单,用静态线性或逻辑的方法即可建立模型,使用初等的数学方 法,即可求解,我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数,比例关系,状态转移,及量刚分析 等建模例子,这些问题的巧妙的分析处理方法,可使读者达到举一反三,开拓思路,提高分析,解决实际问 题的能力。 第一节有关自然数的几个模型 1.1鸽笼原理 鸽笼原理又称为抽屉原理,把N个苹果放入n(n<N)个抽屉里,则必有一个抽屉中至少有2个苹果 问题1:如果有N个人,其中每个人至多认识这群人中的m(n<N)个人(不包括自己),则至少有两 个人所认识的人数相等。 分析:我们按认识人的个数,将N个人分为0,1,2…,n类,其中k(0≤k≤m)类,表示认识k个人,这 样形成n+1个“鸽笼”。若n<N-1,则N个人分成不超过N-1类,必有两人属于一类,也即有 两个人所认识的人数相等:若n=N-1,此时注意到0类和N类必有一个为空集,所以不空的“鸽笼” 至多为N-1个,也有结论成立 问题2:在一个边长为1的正三角形内最多能找到几个点,而使这些点彼此间的距离大于0.5 分析:边长为1的正三角形△ABC,分别以A,B,C为中心,0.5为半径圆弧,将三角形分为四个部 分(如图1-1),则四部分中任一部分内两点距离都小于0.5,由鸽笼原理知道,在三角形内最多能找四 个点,使彼此间距离大于0.5,且确实可找到如A,B,C及三角形中心四个点 问题3:能否在8×8的方格表ABCD的各个空格中,分别填写1,2,3这三个数中的任一个,使得每行,初等数学方法建模 1 第二章 初等数学方法建模 现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方 法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析 等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问 题的能力。 第一节 有关自然数的几个模型 1.1 鸽笼原理 鸽笼原理又称为抽屉原理，把 N 个苹果放入 n(n  N) 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果。 问题 1：如果有 N 个人，其中每个人至多认识这群人中的 n(n  N) 个人（不包括自己），则至少有两 个人所认识的人数相等。 分析：我们按认识人的个数，将 N 个人分为 0,1,2 ,n 类，其中 k(0  k  n) 类，表示认识 k 个人，这 样形成 n+1 个“鸽笼”。若 n  N −1 ，则 N 个人分成不超过 N −1 类，必有两人属于一类，也即有 两个人所认识的人数相等；若 n = N −1 ，此时注意到 0 类和 N 类必有一个为空集，所以不空的“鸽笼” 至多为 N −1 个，也有结论成立 问题 2：在一个边长为 1 的正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于 0.5. 分析：边长为 1 的正三角形 ABC ，分别以 A, B,C 为中心， 0.5 为半径圆弧，将三角形分为四个部 分（如图 1-1 ），则四部分中任一部分内两点距离都小于 0.5 ，由鸽笼原理知道，在三角形内最多能找四 个点，使彼此间距离大于 0.5 ，且确实可找到如 A, B,C 及三角形中心四个点。 图 1—1 问题 3：能否在 88 的方格表 ABCD 的各个空格中，分别填写 1,2,3 这三个数中的任一个，使得每行