数学分析补充 第一部分:极限与连续 §1数列极限的证明与计算 知识点回顾: 极限定义与性质的应用。 单调有界原理的应用 Cauchy收敛准则的应用 Stols公式, Taylor公式的应用。 范例 证明: lim sin n不存在 证法(1):利用 Cauchy准则。VN,取n=[2N+ 4,m=2N+2z1 则2Nx+<n<2Nx+-<2N丌+丌<m<2Nx+2丌,从而 In n-sin m 证法(2):设 lim sin n=A。因为sin(n+2)-snn=2 sin lcos(n+1) 令n→∞即得 lim cos n=0。又由sin2n+cos2n=1可知A=1。又因为 sn2n=2 sIn ncos以及 lim cos n=0得到A=0。得出矛盾。 2、设(1)xn= cos=coS?2…c 3517 (2)x 241622n 试求:lmx 2 sin 解:(1).以 乘x,注意 sin t cost=-sn2t1 数学分析补充 第 一 部 分 ：极 限 与 连 续 § 1 数 列 极 限 的 证 明 与 计 算 知识点回顾： 极限定义与性质的应用。 单调有界原理的应用。 Ca u c h y 收敛准则的应用。 S t o l s 公 式 , Ta y l o r 公式的应用。 范例： 1、 证明： n n lim sin → 不存在。 证 法（ 1）：利 用 C a u c h y 准则。 N,取 ], 4 3 [2  n = N + m = [2N + 2 ] ， 则         2 2 2 4 3 2 4 2N +  n  N +  N +  m  N + ，从而 2 2 sin n − sin m  。 证法（ 2）： 设 n n lim sin → ＝ A 。因为 sin( n + 2) − sin n = 2sin 1cos(n +1) ， 令 n → 即 得 lim cos = 0 → n n 。 又 由 sin cos 1 2 2 n + n = 可 知 A= 1 。 又 因 为 sin 2n = 2sin ncosn 以 及 lim cos = 0 → n n 得 到 A= 0。得出矛盾。 2 、设（ 1 ） n n x x x x 2 cos 2 cos 2 cos = 2  ；（ 2 ） n n n x 2 2 2 2 1 16 17 4 5 2 3 + =  。 试求： n n x → lim 。 解 ：（ 1） . 以 n n n n x x 2 2 sin 2 2 sin 乘 n x ，注意 t t sin 2t 2 1 sin cos =