二、综合题(60分) 证明:任何平面图是5-可着色的。 证明:p125-126 2.如果有一群人,其中有k个人彼此认识或者有/个人彼此不认识。我们用r(kD表示这群 人至少是有几个人的人数,称为 Ramsey数。证明:r(3,3)=6。 证明:6个点V,,n,BW表示6个人,两人认识时,在对应的两点连一条绿边,否则 连一条红边。根据鸽笼原理,与ν相连的5条边中,必有3条同色。不访设wn2,v3和 Vv是3条绿边。如果三角形v2,v3w上有一条绿边,则此绿边与w构成一个绿色三角形 于是有3人彼此认识,否则n,,w;构成红色三角形,有3人彼此不认识。则r(3,3≤6。5 个点构成的完全图中,可以既无绿色三角形也无红色三角形,则r(3,3)>5。则n3.3=6 3.如果为一个无向图的每一条边确定一个方向,使得所得到的有向图是强连通 的,称该无向图是可定向的。证明:欧拉图和哈密顿图都是可定向。 解:构造性证明,沿欧拉哈密顿回路 4.设G为非平凡有向图,V为G的结点集合,若对V的任一非空子集S,G中起始结点在S 中,终止结点在VS中的有向边至少有k条,则称G是k边连通的。 证明:非平凡有向图是强连通的充要条件为它是一边连通的 证明: /*中国科学院计算所1999考研* /*必要性证明*/ 因为设G为强连通的,假设从S到VS没有有向边,则S中的任一顶点u到VS中的任一顶 点v均没有有向道路,从而与G为强连通的相矛盾。所以从S到VS至少有一条有向边,即 G为一边连通的 /*充分性证明*/ 设G为一边连通的,对任意的u,vV,则{u到V(G-u)至少有一条边,设为(u,u1),而{u, ul}到V-{u,u1}至少有一条有向边(u,u2)或(ul,u2)。无论哪种情况都有从u到u2的有 向道路,因为G中结点数有限,所以通过如上递归地求解,一定有从u到v的有向道路。所 以G为强连通的。 5.证明:任何一个竞赛图是半哈密顿图。 证明: 归纳基础:若竞赛图的顶点数小于4,显然有一条哈密顿有向图。 归纳步骤:假设n个顶点的任一竞赛图是半哈密顿有向图。设G是n+1个顶点的竞赛图, 从G中删去顶点v及其关联边,得到有向图G,由归纳假设,G有哈密顿有向路1v2 vn,G有3种情况: (1)在G中有一条弧(v,则有哈密顿有向路v,V2…,Dn) 2)在G中没有弧vD,则必有弧v以。若存在v,是v之后第一个碰到并且有弧 v的顶点,则显然得到一条哈密顿有向路(v1v2…v=1v…n/ (3)在G中没有弧vv,而对所有v,均有弧/v,i=l,2,…,n,则得一条哈密顿有向 路(vv2二、综合题（60 分） 1．证明：任何平面图是 5-可着色的。 证明：p125-126 2．如果有一群人，其中有 k 个人彼此认识或者有 l 个人彼此不认识。我们用 r(k, l)表示这群 人至少是有几个人的人数，称为 Ramsey 数。证明：r(3, 3)=6。 证明：6 个点 v1, v2, v3, v4, v5, v6 表示 6 个人，两人认识时，在对应的两点连一条绿边，否则 连一条红边。根据鸽笼原理，与 v1 相连的 5 条边中，必有 3 条同色。不访设 v1 v2 ，v1 v3 和 v1 v4 是 3 条绿边。如果三角形 v2, v3, v4 上有一条绿边，则此绿边与 v1 构成一个绿色三角形， 于是有 3 人彼此认识，否则 v2, v3, v4 构成红色三角形，有 3 人彼此不认识。则 r(3, 3)6。5 个点构成的完全图中，可以既无绿色三角形也无红色三角形，则 r(3, 3)>5。则 r(3, 3)=6。 3．如果为一个无向图的每一条边确定一个方向，使得所得到的有向图是强连通 的，称该无向图是可定向的。证明：欧拉图和哈密顿图都是可定向。 解：构造性证明，沿欧拉/哈密顿回路。 4．设 G 为非平凡有向图，V 为 G 的结点集合，若对 V 的任一非空子集 S，G 中起始结点在 S 中，终止结点在 V-S 中的有向边至少有 k 条，则称 G 是 k 边连通的。 证明：非平凡有向图是强连通的充要条件为它是一边连通的。 证明： /*中国科学院计算所 1999 考研*/ /*必要性证明*/ 因为设 G 为强连通的，假设从 S 到 V-S 没有有向边，则 S 中的任一顶点 u 到 V-S 中的任一顶 点 v 均没有有向道路，从而与 G 为强连通的相矛盾。所以从 S 到 V-S 至少有一条有向边，即 G 为一边连通的。 /*充分性证明*/ 设 G 为一边连通的，对任意的 u, v V, 则{u}到 V(G-u)至少有一条边，设为(u, u1)，而{u, u1}到 V-{u, u1}至少有一条有向边(u, u2)或(u1, u2)。无论哪种情况都有从 u 到 u2 的有 向道路，因为 G 中结点数有限，所以通过如上递归地求解，一定有从 u 到 v 的有向道路。所 以 G 为强连通的。 5．证明：任何一个竞赛图是半哈密顿图。 证明： 归纳基础：若竞赛图的顶点数小于 4，显然有一条哈密顿有向图。 归纳步骤：假设 n 个顶点的任一竞赛图是半哈密顿有向图。设 G 是 n+1 个顶点的竞赛图， 从 G 中删去顶点 v 及其关联边，得到有向图 G’，由归纳假设，G’有哈密顿有向路(v1 ,, v2 ,, …,, vn)，G 有 3 种情况： （1）在 G 中有一条弧(v,, v1)，则有哈密顿有向路(v,, v1, v2 ,, …, vn)；； （2）在 G 中没有弧(v,, v1)，则必有弧(v1 ,, v)。若存在 vi，vi 是 v1 之后第一个碰到并且有弧(v,, vi )的顶点，则显然得到一条哈密顿有向路(v1 ,, v2 ,, …,, vi--1 ,, v,, vi , …vn)；； （3）在 G 中没有弧(v,, vi )，而对所有 vi，均有弧(vi , v)，i=1,, 2,, …,, n，则得一条哈密顿有向 路(v1 ,, v2 ,, …, vn ,, v)