令 (W,WF≥0) 则上式变为 minG=bW+bW2+…+bW+…+bnWn W+a21W2+…+ak1Wk+…+an1Wm≥C1 aM,+a2,W2 W , w s·t W1+a2W2+…+ak W≥C W,W2,…,Wm20,W无非负要求,K∈{12,…m 同样可证定理的反面(情形2)。 有了定义和定理1后,任一个线性规划得对偶规划都可以写出,其写法为: (i)将目标函数转化为求最大 (ⅱ)将约束条件转化为“≤”型或“=”型 (ii)写出对偶关系表 (iⅳv)据对偶表的规定写出对偶规划。 例2.3写出线性规划 max:=2x,+x2+x,+x x3+x4≤5 x2+3x3 3x2+x≥1 x1,x3≥ x2,x无非负性限制 的对偶规划 解:①将规划的“≥”型约束变为“≤”型约束,得到 max==2x1+x2+x3+ x+x2+x3+x4≤5 S x1+3x3-x4 x1,x3≥0,x2,x无非负性限制 ②写出对偶关系表如表2-5 表25 2 2令 Wk = Wk ′ −Wk ′′ ( ) Wk ′,Wk ′′ ≥ 0 则上式变为 { } 1 1 2 2 11 1 21 2 1 1 1 12 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 min , , , 0, , 1,2, k k m m k k m m k k m m n n kn k mn m n m k G bW b W b W b W a W a W a W a W C a W a W a W a W C s t a W a W a W a W C W W W W K m = + + + + +  + + + + + ≥  + + + + + ≥   ⋅   + + + + + ≥    ≥ ∈ " " " " " " """""""""""""""""" " " " " 无非负要求 同样可证定理的反面（情形 2）。 有了定义和定理 1 后，任一个线性规划得对偶规划都可以写出，其写法为： （ⅰ）将目标函数转化为求最大 （ⅱ）将约束条件转化为“≤”型或“=”型 （ⅲ）写出对偶关系表 （ⅳ）据对偶表的规定写出对偶规划。 例 2.3 写出线性规划 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 3 4 1 3 4 2 max 2 5 2 3 4 3 1 , 0, , z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x = + + +  + + + ≤  − + = −  ⋅  − + ≥    ≥ 无非负性限制 的对偶规划 解：①将规划的“≥”型约束变为“≤”型约束，得到 1 234 1 2 3 4 1 2 3 1 3 4 1 3 2 4 max 2 5 2 3 4 3 1 , 0, , z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x = + + +  + + + ≤  − + = −  ⋅ − + − ≤ −   ≥ 无非负性限制 ②写出对偶关系表如表 2-5。 表 2-5 x1 x2 x3 x4 2 1 1 1 W1 1 1 1 1 5 W2 2 -1 3 0 -4 Wm -1 0 3 -1 -1 minG ∧∧ ‖∧ ≤ = ≤ ∧ ‖ maxZ