证因为D对调两列得D2,相当于D对调两行得D2 所以D2=D2=-D 推论2D中某两行(列)元素对应相等→D=0 证因为对调此两行(列)后,D的形式不变 所以 例如,对于任意的abc,都有abc=0 性质3kan1…kan=kD 证(1)左端=∑(-)an…(kan)…am] r(P1…p…pn) )=kD 推论1D中某行(列)元素全为0→D=0 推论2D中某两行(列)元素成比例→D=0 性质4若对某个i,有an=b+cn(=1,2,…,m),则 b1…bn 证左端=∑(-1)(an…an…am2) r(P1…P…pn) =∑(-1)(an…bn…an)+∑(-)(an…cmn…am2) =右端(1)+右端(2) 注]性质4对于列的情形也成立8 证 因为 D 对调两列得 D2 , 相当于 T D 对调两行得 T D2 所以 D = D = −D = −D T T 2 2 推论 2 D 中某两行(列)元素对应相等  D = 0． 证 因为对调此两行(列)后, D 的形式不变 所以 D = −D  D = 0 例如, 对于任意的 a,b, c , 都有 0 1 2 3 1 2 3 a b c = ． 性质 3 kD a a ka ka a a n nn i in n =          1 1 11 1 , kD a k a a a k a a n nj nn j n =        1 11 1 1 证(1) 左端 ( 1) [ ( ) ] 1 1 i npn = − a p  kaip  a  ( ) p1 pi pn  k a a a kD i npn = (−1) ( p ip ) =  1 1   推论 1 D 中某行(列)元素全为 0  D = 0． 推论 2 D 中某两行(列)元素成比例  D = 0． 性质 4 若对某个 i , 有 a b c ( j 1,2, ,n) ij = ij + ij =  , 则 n nn i in n a a a a a a          1 1 11 1 n nn i in n a a b b a a          1 1 11 1 = n nn i in n a a c c a a          1 1 11 1 + 证 左端 ( 1) ( ) 1 1 i npn = − a p  aip  a  ( ) p1 pi pn  ( 1) ( ) 1 1 i npn = − a p bip a  ( 1) ( ) 1 1 i npn + − a p cip a  = 右端(1)+ 右端(2) [注] 性质 4 对于列的情形也成立．