近似为k个服从自由度为1的X2分布的随机变量之和，由于∑=1(n:-np)=0,故这k个随 机变量满足一个约束，从而X2的自由度为k-1.事实上，可以严格地证明，在一定的条件下， X2的极限分布就是自由度为k-1的X2分布，但其证明超出本课程的要求范围. 下面给出一个例子来说明拟合优度检验的应用， 例1.有人制造一个含6个面的骰子，并声称是均匀的.现设计一个实验来检验此命题：连续 投掷600次，发现出现六面的频数分别为97,104,82,110,93,114.问能否在显著性水平0.2 下认为觳子是均匀的？ 解：该问题设计的总体是一个有6个类别的离散总体，记出现六个面的概率分别为即1，·，6， 则零假设可以表示为 H0:p=1/6,i=1,…,6. 在零假设下，理论频数都是100，故检验统计量X2的取值为 97-100)2+104-1002+82-1002+110-1002+93-100)2+L14-1002 =6.94 100 100 100 100 100 100 跟自由度为6-1=5的x2分布的上0.05分位数(0.2)≈7.29比较，不能拒绝零假设，即可 在显著性水平0.2下认为骰子是均匀的. 例2.孟德尔(Mendel)豌豆杂交试验。纯黄和纯绿品种杂交，因为黄色对绿色是显性的， 在Mendel第一定律（自由分离定律）的假设下，二代豌豆中应该有T5%是黄色的，25%是绿 色的。在产生的n=8023个二代豌豆中，有n1=6022个黄色，2=2001个绿色。我们的问题 是检验这些这批数据是否支持Mendel第一定律，要检验的假设是 H0:T1=0.75,T2=0.25 解：在Mendel2第一定律(Ho)下，黄色和绿色的个数期望值为 41=nm1=8023*0.75=6017.25,2=nπ2=8023*0.25=2005.75 则Pearson X2统计量为 z=∑0- .=(6022-6017.25)2/6017.25+(2001-2005.75)2/2005.75=0.015 E 自由度df=l,p-value为0.99996.因此可以认为这些数据服从Mendel第一定律。Fisher基 于Mendel的这些数据，发现其数据与理论值符合的太好，p-value=0.99996,但这么好的 拟合在几千次试验中才发生一次，因而Fisher断定数据可能有伪造的嫌疑。 (2)理论分布含若干未知参数的情形 当理论总体总含有未知的参数时，理论频数p:一般也与这些参数有关，此时应该用适 当的估计如极大似然估计代替这些参数以得到：的估计，得到的统计量记为 x2=m-n啦)2 npi 拟合优度检验的提出者Karl Pearson最初认为在零假设下，检验统计量的x2的极限分布仍等 于自由度为k-1的x2分布，R.A.Fisher发现自由度应该等于k-1减去估计的独立参数的 个数r,即k-1-r 2Cqèk á—lgd›è1 χ 2 ©ŸëÅC˛É⁄, duPk i=1(ni − npi) = 0, ˘k áë ÅC˛˜vòáÂ, l χ 2 gd›èk − 1. Ø¢˛, å±ÓÇ/y², 3ò½^áe, χ 2 4Å©Ÿ“¥gd›èk − 1 χ 2 ©Ÿ, Ÿy²á—ëßá¶âå. e°â—òá~f5`²[‹`›uA^. ~ 1. k<õEòá¹6 á°f, ø(°¥˛!. yOòá¢5ud·K: ÎY ›ï600 g, uy—y8°™Í©Oè97, 104, 82, 110, 93, 114. ØUƒ3wÕ5Y²0.2 e@èf¥˛!? ): TØKOoN¥òák6 áaOl—oN, P—y8á°V«©Oèp1, · · · , p6, K"bå±L´è H0 : pi = 1/6, i = 1, · · · , 6. 3"be, nÿ™Í—¥100, u⁄O˛χ 2 äè (97 − 100)2 100 + (104 − 100)2 100 + (82 − 100)2 100 + (110 − 100)2 100 + (93 − 100)2 100 + (114 − 100)2 100 = 6.94, ãgd›è6 − 1 = 5 χ 2 ©Ÿ˛0.05 ©†Íχ 2 5 (0.2) ≈ 7.29 ', ÿU·˝"b, =å 3wÕ5Y²0.2 e@èf¥˛!. ~ 2. ä(Mendel) Œ,£"Xë⁄X…¨´,ßœèë⁄È…⁄¥w5ß 3Mendel1ò½Æ(gd©l½Æ)beßì Œ•ATk75†¥ë⁄ß25†¥… ⁄"3)n = 8023áì Œ•ßkn1 = 6022áë⁄ßn2 = 2001á…⁄"·ÇØK ¥u˘ ˘1Í‚¥ƒ|±Mendel1ò½Æßáub¥ H0 : π1 = 0.75, π2 = 0.25 ): 3Mendel1ò½Æ(H0)eßë⁄⁄…⁄áÍœ"äè µ1 = nπ1 = 8023 ∗ 0.75 = 6017.25, µ2 = nπ2 = 8023 ∗ 0.25 = 2005.75 KPearson χ 2⁄O˛è Z = X (O − E) 2 E = (6022 − 6017.25)2 /6017.25 + (2001 − 2005.75)2 /2005.75 = 0.015 gd›df = 1ßp − valueè0.99996. œdå±@è˘ Í‚—lMendel1ò½Æ"Fisherƒ uMendel˘ Í‚ßuyŸÍ‚Ünÿ䌋–ßp − value = 0.99996ߢo– [‹3AZg£•‚u)ògßœ Fisher‰½Í‚åUkñEv¶" (2) nÿ©Ÿ¹eZôÎÍú/ nÿoNo¹kôÎÍû, nÿ™Ínpi òÑèܢ ÎÍk', dûAT^· OX4åq,OìO˘ Îͱpi Opˆi , ⁄O˛Pè χ 2 = X k i=1 (ni − npˆi) 2 npˆi . [‹`›uJ—ˆKarl Pearson Å–@è3"be, u⁄O˛χ 2 4Å©ŸE ugd›èk − 1 χ 2 ©Ÿ, R. A. Fisher uygd›ATuk − 1 ~O’·ÎÍ áÍr, =k − 1 − r. 2