二、线性微分方程的解的结构 令定理1(齐次方程的解的叠加原理 如果函数y(x)与y24x)是方程y+P(x)y+Qx)=0的两个解, 那么y=Cu(x)+C2y2(x)也是方程的解,其中C1、C2是任意常数 今函数的线性相关与线性无关 设yv(x),y2(x),…,ya(x)为定义在区间/上的n个函数.如果 存在n个不全为零的常数k1,k2,……,k,使得当x∈/时有恒等式 ky1(x)+k2y2(x)+….+knVn(x)=0, 那么称这n个函数在区间上线性相关;否则称为线性无关 举例 (2)函数1,x,x2在任何区间(a,b)内是线性无关的 这是因为对任意k1,k2,k2k1+k2x+k2x2不可能恒为零 首贡页返回下页结束首页 上页 返回 下页 结束 铃 举例: (1)函数1 cos2x sin2x在整个数轴上是线性相关的 这是因为1-cos2x-sin2x 0 举例: (2)函数1 x x 2在任何区间(a b)内是线性无关的 这是因为对任意k1  k2  k3  k1+k2 x+k2 x 2不可能恒为零 二、线性微分方程的解的结构 ❖函数的线性相关与线性无关 下页 ❖定理1(齐次方程的解的叠加原理) 如果函数y1 (x)与y2 (x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个解 那么y=C1 y1 (x)+C2 y2 (x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数 设y1 (x) y2 (x)     yn (x)为定义在区间I上的n个函数 如果 存在n个不全为零的常数k1  k2      kn  使得当xI 时有恒等式 k1 y1 (x)+k2 y2 (x)+    + kn yn (x)0 那么称这n个函数在区间I上线性相关否则称为线性无关