函数=(xy)在一点(xy沿任一方向的方向导数为:=c07+2sm 其中g为x轴到方向转角。 函数=fxy)在一点p(xy的梯度:pgad(xy)=97+9 它与方向导数的关系是:9= d f(x):2,其中a=c0sp7+smpj,为方向上的 单位向量。 是gaJ(xy)在上的投影。 多元函数的极值及其求法: it(xo, yo)=f(xo,yo)=0, :f(xo, yo)=A, f(o yo)=B, f,(xo, yo)=C C-B2>0时,4<0(x1为极大值 14>0(xn,y)为极小值 则:AC-B2<0时, 无极值 AC-B2=0时, 不确定 重积分及其应用: f(x,ydrdy=f(rose, rsin O)rdrd@ 曲面=/(x)的面积+( dxd ∫x(xy)d yp(x, y)do 平面薄片的重心:x y px, y)do p(x, yido 平面薄片的转动惯量:对于x轴1=ypxy)do,对于y轴,=Jxp(x,yd 平面薄片(位于xoy平面)对轴上质点M0.a)(a>0)的引力:F={F2,F,F,其中: F p(x, y)xdo Fy=fp(x,y)ye F=』xxr 柱面坐标和球面坐标:是 在 上的投影。 单位向量。 它与方向导数的关系是： ，其中 ，为 方向上的 函数 在一点 的梯度： 其中 为 轴到方向 的转角。 函数 在一点 沿任一方向 的方向导数为： f x y l l f f x y e e i j l l f j y f i x f z f x y p x y f x y x l y f x f l f z f x y p x y l grad ( , ) grad ( , ) cos sin ( , ) ( , ) grad ( , ) ( , ) ( , ) cos sin    =  =  +      +   = =   +   =   =            多元函数的极值及其求法：          − = −       −  = = = = = 时 不确定 时， 无极值 为极小值 为极大值 时， 则： 设 ，令： 0 , 0 0,( , ) 0,( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AC B AC B A x y A x y AC B f x x y f y x y f xx x y A f xy x y B f yy x y C 重积分及其应用：             + + = − + + = + + =  = = = = = = =          +        = = + =  D z D y D x x y z D y D x D y D D x D D D x y a x y x d F f a x y a x y yd F f x y a x y x d F f xoy z M a a F F F F x I y x y d y I x x y d x y d y x y d M M y x y d x x y d M M x dxdy y z x z z f x y A f x y dxdy f r r rdrd 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 D 2 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (0,0, ),( 0) { , , } ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( cos , sin )                      ， ， 平面薄片（位于 平面）对 轴上质点 的引力： ，其中： 平面薄片的转动惯量：对于 轴 对于 轴 平面薄片的重心： 曲面 的面积 柱面坐标和球面坐标：