第二十四讲 主函数(三 第3页 前几个球 Bessel函数和球 Neumann函数(图形见图241)的表达式是 (x) sIn 7 no(x)≈cosx 1 (sin T -a cos n1(x)=_1 22( cos T +sinr i(a)=(3-2)mx-3x0i;n()=-[(3-x2) T+rsi j1(a) j2(a) 10 de) (x) 81012, 图2411球 Bessel函数jn(x)和球 Neumann函数n2(x).细灰线是它们的渐近线y=±1/x 类似地,也还可以定义球 Hankel函数 h(x)=j(x)+in(x),n2(x)=i(x)-in(r) 例241将函数 elAr cos按 Legendre多项式展开 解设 ikr cos e =∑q(k)P(os 则展开系数 cI(kr) 2l+1 irr P(a)d=2+1 ∑m r"P(a)d 利用第19讲第4节的结果,就有 2+1、(kr) (+2n)! ∑ nI(n+1+3/2(2 (2+1)j(kr)Wu Chong-shi ➊➋➌➍➎ (➏) ➐ ◗ ❘ (➑) ❙ 3 ❚ ➒➓✷❨ Bessel ✙✚❈❨ Neumann ✙✚ (❶② ♣ ❶ 24.1) ✘➔→③✩✛ j0(x) = sin x x , n0(x) = − cos x x , j1(x) = 1 x 2 ￾ sin x − x cos x
, n1(x) = − 1 x 2 ￾ cos x + x sin x
, j2(x) = 1 x 3 h￾ 3 − x 2
sin x − 3x cos x i ; n2(x) = − 1 x 3 h￾ 3 − x 2
cos x + 3x sin x i . ➣ 24.1 ↔ Bessel ↕➙ jl(x) ➛↔ Neumann ↕➙ nl(x) ➜➝➞➟➠➡➢➤➥➦➟ y = ±1/x ✕ ⑤➧★ ✮➨✿✧➩➫❨ Hankel ✙✚ h (1) l (x) = jl(x) + i nl(x), h (2) l (x) = jl(x) − i nl(x). ➭ 24.1 ✉ ✙✚ e ikr cos θ ➯ Legendre ➲➳③➵➸✤ ➺ ➻ e ikr cos θ = X∞ l=0 cl(kr)Pl(cos θ), ⑨➵➸✺✚ cl(kr) = 2l+1 2 Z 1 −1 e ikrxPl(x)dx = 2l+1 2 X∞ n=0 (ikr) n n! Z 1 −1 x nPl(x)dx. ➼➽q 19 rq 4 ✏✘➾➚★✾ ⑥ cl(kr) = 2l + 1 2 X∞ n=0 (ikr) l+2n (l + 2n)! Z 1 −1 x l+2nPl(x)dx = 2l + 1 2 i l X∞ n=0 (−) n (l + 2n)!(kr) l+2n · (l + 2n)! 2 l+2n n! √ π Γ (n + l + 3/2) = 2l + 1 2 i l√ π X∞ n=0 (−) n n! Γ (n + l + 3/2)  kr 2 l+2n = (2l + 1) il jl(kr)