6 第九章函数逼近 例9.6在L2[a,6空间中，定义 ()f()g()dz,a, (9.2) 易验证(，)满足条件(1)~(3).因此，L2[a,)按(，)构成一内积空间 命题9.6(Cauchy-Schwarz不等式)设V是内积空间，则有 If,gl≤Vf,f)(g,g),f,9∈V. 证明设人，g∈V,因V是线性空间，故Af+g∈V(A∈R).利用内积的正定性，知 (J+9,λf+g)≥0→2(f,f)+2(f,9)+(g,9)≥0. 因上式对任意的入∈R成立，故由二次函数的性质知： 4(f,g2-4(f,f)·(g,9）≤0→1(f,9川≤Vf,f)·(g,9. 由于∫，9是任取的，故命题成立 若在内积空间V中定义 IfI=f,f),f∈V, 则有 If+g2=(f+9,f+g)=(,f)+2(f,9)+(g,g ≤(，f)+2Vf,f)·(99)+(g,9)=(lf川+lg)2 即f+g≤f川+Ig.易验证，‖·‖构成V的一个范数，称‖·‖是内积诱导的范数 与一般的赋范线性空间不同，内积空间具有很好的几何性质. 命题9.7（平行四边形等式）设V是内积空间，则有 f+g2+f-g2=2(f2+Ig2). 证明设f,g∈V,因V是线性空间，故∫+g,f-9∈V.经简单计算知 U+g2=(f+9,f+g)=(5,f)+2,9)+(g,9, If-gl2=(f-9,f-9)=(,f)-2(f,9)+(g,9):8 第九章 函数逼近 例 9.6 在 L 2 [a, b] 空间中, 定义 (f, g) = ∫ b a f(x)g(x) dx, ∀f, g ∈ L 2 [a, b]. (9.2) 易验证 (·, ·) 满足条件 (1) ∼ (3). 因此, L 2 [a, b] 按 (·, ·) 构成一内积空间. 命题 9.6 (Cauchy-Schwarz 不等式) 设 V 是内积空间, 则有 |(f, g)| 6 √ (f, f) · (g, g), ∀f, g ∈ V. 证明 设 f, g ∈ V , 因 V 是线性空间, 故 λf + g ∈ V (λ ∈ R). 利用内积的正定性, 知 (λf + g, λf + g) > 0 ⇐⇒ λ 2 (f, f) + 2λ(f, g) + (g, g) > 0. 因上式对任意的 λ ∈ R 成立, 故由二次函数的性质知: 4(f, g) 2 − 4(f, f) · (g, g) 6 0 =⇒ |(f, g)| 6 √ (f, f) · (g, g). 由于 f, g 是任取的, 故命题成立. 若在内积空间 V 中定义 ∥f∥ = √ (f, f), ∀f ∈ V, 则有 ∥f + g∥ 2 = (f + g, f + g) = (f, f) + 2(f, g) + (g, g) 6 (f, f) + 2√ (f, f) · (g, g) + (g, g) = (∥f∥ + ∥g∥) 2 , 即 ∥f + g∥ 6 ∥f∥ + ∥g∥. 易验证, ∥ · ∥ 构成 V 的一个范数, 称 ∥ · ∥ 是内积诱导的范数. 与一般的赋范线性空间不同, 内积空间具有很好的几何性质. 命题 9.7 (平行四边形等式) 设 V 是内积空间, 则有 ∥f + g∥ 2 + ∥f − g∥ 2 = 2(∥f∥ 2 + ∥g∥ 2 ). 证明 设 f, g ∈ V , 因 V 是线性空间, 故 f + g, f − g ∈ V . 经简单计算知 ∥f + g∥ 2 = (f + g, f + g) = (f, f) + 2(f, g) + (g, g), ∥f − g∥ 2 = (f − g, f − g) = (f, f) − 2(f, g) + (g, g),