证明由级数∑cn收敛,知幂级数∑cn"在二=1处收敛,由Abe定理知∑cn 的收敛半径R21:而∑kn发散知∑|cn="|在1=|=1处发散,故∑cn”的收敛半径 R≤1。所以∑cn”的收敛半径为1 10.如果级数∑cn”在它的收敛圆的圆周上一点二处绝对收敛,证明它在收敛圆所 围的闭区域上绝对收敛。 证明由Abel定理知∑cn"在其收敛圆内绝对收敛,再证其在圆周上绝对收敛即 可。在圆周上任取一点,∑|cn”=∑c-|,知∑cn”绝对收敛,故结论成立 11.把下列各函数展开成z的幂级数,并指出它们的收敛半径。 (1) 1+4 +:)2:(3)c02:(4)$hz (5)chz;(6) 2sin2:(7)e;(8)sm、 解(1)由,1=1-2+2-2+…l=k1,故 1+ (-1) 而收敛半径R=1 (2)因1=1 1+= 2-x3+…+(-1)=+…,|=k1 故 +-) 3)因c:12+4+…故1-2+-+证明 由级数 0 n n c ∞ = ∑ 收敛，知幂级数 0 n n n c z ∞ = ∑ 在 z =1处收敛，由 Abel 定理知 的收敛半径 0 n n n c z ∞ = ∑ R ≥1；而 0 n n c ∞ = ∑ 发散知 在 0 | | n n n c z ∞ = ∑ | | z =1 处发散，故 0 n n n c z ∞ = ∑ 的收敛半径 R ≤1。所以 的收敛半径为 1。 0 n n n c z ∞ = ∑ 10．如果级数 0 n n n c z ∞ = ∑ 在它的收敛圆的圆周上一点 处绝对收敛，证明它在收敛圆所 围的闭区域上绝对收敛。 0 z 证明 由 Abel 定理知 在其收敛圆内绝对收敛，再证其在圆周上绝对收敛即 可。在圆周上任取一点 0 n n n c z ∞ = ∑ η ， 0 ，知 0 0 | | | n n n n n n c c η ∞ ∞ = = ∑ = ∑ z | 0 n n n c η ∞ = ∑ 绝对收敛，故结论成立。 11．把下列各函数展开成 z 的幂级数，并指出它们的收敛半径。 （1） 3 1 1 + z ；（2） ( )2 2 1 1 + z ；（3）cos z 2 ；（4）sh z ； （5）ch z ；（6） sin 2 ；（7） 2 e z z 1 z z e − ；（8） 1− z 1 sin 解 （1）由 1 ,| | 1 1 1 2 3 = − + − + < + z z z z z " ，故 = − + − +…+ ( ) − +… + n n z z z z z 3 6 9 3 3 1 1 1 1 ，| z |< 1， 而收敛半径 R=1； （2）因 = − + − +…+ ( ) − +… + n n z z z z z 1 1 1 1 2 3 ，| z |< 1， 故 = − + +…+ ( ) − +… + n n z z z z 2 4 2 2 1 1 1 1 ，| z |< 1， 又因 ⎟′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 z ( ) 2 2 1 2 z z + − = ， ( ) ⎟′ = − + − +… ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − + 2 4 6 2 2 2 1 2 3 4 1 1 2 1 1 1 z z z z z z ，| z |< 1， 而 R =1； （3）因 , , 2! 4! 6! cos 1 2 4 6 = − + − +… z < ∞ z z z z 故 = − + − +" 2! 4! 6! cos 1 4 8 12 2 z z z z 4